三角形的证明——考点及练习

1错误!文档中没有指定样式的文字。三角形的证明一、知识点1、一般三角形全等的判定方法有、、、2、等腰三角形顶角的平分线、、互相重合，简称“”3、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。4、等边三角形的判定：（1）三个角的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于。5、直角三角形的性质定理与判定定理：（1）直角三角形的两个锐角；（2）有两个角互余的三角形是。勾股定理及其逆定理：（1）直角三角形两条直角边的等于；（2）如果三角形两边的等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。6、直角三角形全等的判定定理：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”。7、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。8、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等9、用尺规作图：（1）能够用尺规作已知线段的垂直平分线；（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形；（3）过点P（在直线l上或在直线l外）作已知直线l的垂线。10、角平分线上的点到角的两边的距离。在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的上。11、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这个点到三角形三边的距离。二、考点例题考点一等腰三角形的性质例1、（2014•广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或17例2、（2014•日照）已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（）A．5个B．4个C．3个D．2个练习题2新东方优能中学教材1、（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足2235(2313)0abab，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8B．6或10C．6或7D．7或102、（2014•溧水县二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，3），M为x轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点二等腰三角形的判定例1、（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5例2、（2014•深圳模拟）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DAC．练习题3错误!文档中没有指定样式的文字。1、（2014•溧水县二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，3），M为x轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．1B．2C．3D．42、（2014•南安市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x轴、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，求：（1）线段OA的长为_________；（2）若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是_________．考点三直角三角形全等的判定例1、（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等例2、（2013•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_________度．例3、一根长63米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（ABO）为60°，当木棒A端沿墙下滑至点'A时，B端沿地面向右滑行至点'B（1）求OB的长；（2）当'1AA米时，求'BB的长4新东方优能中学教材练习题1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=_________cm．2、将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm考点四线段的垂直平分线的性质例1、（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°例2、（2014•眉山）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为_________．5错误!文档中没有指定样式的文字。例3、（2013•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．练习题1、（2013•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．2B．2C．4D．42、（2013•湖北）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm3、（2014•河南）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．6新东方优能中学教材考点五三角形的角平分线，中线和高例1、（2014•连云港）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A．B．C．D．例2、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．例3、如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？练习题1、下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）7错误!文档中没有指定样式的文字。A．B．C．D．2、（2014•通州区二模）如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012=_________．3、已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．求证：AB=CD．考点六角平分线的性质例1、（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°例2、（2014•安阳县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则△DBE的周长为（）8新东方优能中学教材A．2B．C．D．无法计算例3、（2014•新昌县模拟）如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到直线l1，l2的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）练习题1、（2014•瑶海区一模）如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3cm，则AB与CD之间的距离为（）A．3cmB．6cmC．9cmD．无法确定2、（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．3、如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F．求证：BE=CF．9错误!文档中没有指定样式的文字。参考答案考点一例1、A例2、C练习题1、A2、B考点二例1、B例2、证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴ME=AB，MD=AB，∴ME=MD，∴△MED为等腰三角形；（2）∵ME=AB=MA，∴∠MAE=∠MEA，∴∠BME=2∠MAE，同理，MD=AB=MA，∴∠MAD=∠MDA，∴∠BMD=2∠MAD，∴∠EMD=∠BME﹣∠BMD=2∠MAE﹣2∠MAD=2∠DAC．练习题1、B2、（1）5；（2）（8，4）或（﹣2，4）或（﹣，4）或（﹣3，4）10新东方优能中学教材考点三例1、D例2、45°例3、解：（1）根据题意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°，在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=，∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米，∴OB的长为3米；（2）根据题意可知A′B′=AB=6米，在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=，∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米，∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，∴OA′=8米，在Rt△A′OB′中，OB′=2米，∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米．练习题1、72、A考点四例1、D例2、8例3、∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．练习题1、A2、C11错误!文档中没有指定样式的文字。3、证明：连接DF，∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BCE=∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD=∠CBF=90°，∵AC=CB，∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．∵CD=BD=BC，∴BF=BD．∴△BFD为等腰直角三角形．∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠ABC=45°．∵∠FBD=90°，∴∠ABF=45°．∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF．考点五例1、C例2、证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，12新东方优能中学教材即∠CFE=∠CEF．例3、解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED=S△ABC=×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．练习题1、D2、201223、证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，∵BC⊥AF，点D与点A关于点E对称，∴BC是AD的垂直平分线，∴AC=CD，∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=180°﹣90°=90°，∴∠ABE=∠ACE，∴AB=AC，∴AB=CD．考点六例1、B例2、C13错误!文档中没有指定样式的文字。例3、解：如图，点P1，P2为所作．练习题1、B2、153、解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，（已知），∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全