第五节--隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形一、一个方程的情形引例:已知确定,求)(xy)(xyy0xyeyx一般地,可确定可导函数,如何求导?)(xyy0),(yxF0),(.1yxF隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFxydd.隐函数的求导公式例１验证方程1sin02yyx确定了y是x函数，并求dydx.解令1(,)sin2Fxyyyx则1,xF11cos,2yFy依定理知方程1sin02yyx在偏导数不等于0的点的某邻域内能唯一确定一个单值可导的函数()yyx．xyFdydxF2.2cosy前述引例:0xyeyx,0)(xyex,yFyx令,0)(时当xex,yFyxy就可确定可导函数,且)(xyyyxFFxydd.xeyeyxyx例2设xyze，其中y由方程1sin02yyx确定的隐函数，求dzdx.例2已知xyyxarctanln22，求xydd.解[法一]则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFxydd.xyyx令[法二]方程两边对x求导,视y为x的函数:.dd,,)tan(3xzxyeyyxzyx求确定由方程：设例解.)),(tan(可求全导数xyxz)1)((secdd2yyxxz,0)(xyex,yFyx令,yeFyxx,xeFyxyyxFFy,xeyeyxyx)1)((secdd2yyxxz).1)((sec2xeyeyxyxyx隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.0),,(zyxF2.推广到三元以上例3设方程33330xyzxyz，求xz和yz.解法一：用公式法解法二：两边同时对x(或y)求偏导解法三：用全微分形式不变性例4设322uxyz，其中(,)zfxy由方程33330xyzxyz确定的隐函数，求ux和uy.例5设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy.思路：把z看成x,y的函数对x求偏导数得xz，把x看成y,z的函数对y求偏导数得yx，把y看成z,x的函数对z求偏导数得zy，解令,zyxu,xyzv则),,(vufz把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz)1(xzfu),(xzxyyzfv整理得xz,1vuvuxyffyzff把x看成yz,的函数对y求偏导数得)1(0yxfu),(yxyzxzfv整理得,vuvuyzffxzffyx把y看成zx,的函数对z求偏导数得)1(1zyfu),(zyxzxyfv整理得zy.1vuvuxzffxyff例5设方程2222390xyzxyz，求zx，22zx.3.求隐函数的高阶偏导数0023451),(2yxyxzyzxzzyxzz隐函数，求确定的是由方程：设例得视求偏导方程两边分别对)),,((,yxzzyx)1(03452344xxxzyzzxzzzz)2(03452334yyyzyzzzxzzz,5151)2()1(1,0,00,0(0,0(）），得：、代入将yxzzzyx,1,0,0zyx得解：由:)()1(的函数、均为、求偏导两边对方程yxzzyx得：代入将））)3(51,51,1,0,00,0(0,0(yxzzzyx.2530,0(）xyz)3(034)345()3610(223222xyxyyxzzzzzyxzzzzzyxzzz求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种：,][zxFFxz先求出一阶偏导数方法一有：求导再对,xzxFFxxz222zzxxzFxFFxFF).,(yxzzz要视作此时.222yxzyz及类似地，可求得.][导两次直接对原方程接连求偏方法二).,(yxzzz要视作此时,0:xzFFxzx求偏导得方程两边对,02:222xzFxzFxzFFxzzzxzxx求偏导得上式两边再对.22代入求出结果并将由上式解出xzxz.222yxzyz及类似地，可求得0),,(0),,()1(zyxGzyxF二、方程组的情形隐函数存在定理3设),,(zyxF、),,(zyxG在点),,(000zyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0),,(000zyxF,0),,(000zyxG，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）zGyGzFyFzyGFJ),(),(在点),,(000zyxP不等于零，则方程组0),,(0),,(zyxGzyxF在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一对单值连续且具有连续偏导数的函数)()(xzzxyy，，它们满足条件)(00xyy,)(00xzz，并有),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy,zxzxzxzxGGFFGGFF),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz,zyzyxyxyGGFFGGFF例1设22260xyzxyz确定()yyx，()zzx，求dydx，dzdx.解1直接代入公式.解2运用公式推导的方法.将所给方程的两边分别对求导，视x).(,)(xzzxyy0),,,(0),,,()2(vuyxGvuyxF隐函数存在定理4设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0),,,(0000vuyxF,),,,(0000vuyxG0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）vGuGvFuFvuGFJ),(),(在点),,,(0000vuyxP不等于零，则方程组0),,,(vuyxF、0),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu，),(yxvv，它们满足条件),(000yxuu,vv0),(00yx，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxuvuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv例2设,uv由方程组2200uvxuvy确定的函数()yyx，(,)vvxy，求,uv的偏导数,,,.uvuvxxyy例2:设.,,cossinxvxuvueyvuexuu求分析:该方程组确定方程组两边分别对x求偏导,可求得),,(,),(yxvvyxuu.,xvxu例3:设y=g(x,z),而z由f(xz,xy)=0所确定,求.ddxz解:这类问题可看成是由两个方程确定了y=y(x),z=z(x),用方程组确定的隐函数求导法.利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式.例设(,)zzxy由方程222()zxyzyfy确定，其中()fu可微，证明：222()22.zzxyzxyxzxy)(bzyazx),(yxzz1yzbxza例、证明方程确定的满足，其中为可微..0),,(1xzzyxyxxF，求：已知例求偏导解：方程两边对x0)1(321xzFFF3321FFFFxzxfxyzzyxzyxzxyzyxf求满足而：例,03,,,),,(222232)3(),,(232xzxzzyxfyxzz解：由方程可确定，xyzyzxFFxzzx3232xyzyzxzxyzyxf323232232－（分以下几种情况）隐函数的求导法则0),()1(yxF0),,()2(zyxF0),,(0),,()3(zyxGzyxF四、小结0),,,(0),,,()4(vuyxGvuyxF.)5(复合隐函数求导已知)(zyzx，其中为可微函数，求?yzyxzx思考题思考题解答记)(),,(zyzxzyxF,则zFx1，,1)(zzyFy,)()(22zyzyzxFz,)(zyyxzFFxzzx,)()(zyyxzyzFFyzzy于是zyzyxzx.一、填空题:1、设xyyxarctanln22,则dxdy___________________________.2、设zxyz,则xz___________________________,yz___________________________.二、设,32)32sin(2zyxzyx证明：.1yzxz练习题三、如果函数),,(zyxf对任何t恒满足关系式),,(),,(zyxfttztytxfk,则称函数),,(zyxf为k次齐次函数,试证:k次齐次函数满足方程),,(zyxkfzfzyfyxfx.四、设.,3233yxzaxyzz求五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:1、设203222222zyxyxz,求.,dxdzdxdy2、设),(),(2yvxugvyvuxfu，求.,xvxu（其中gf,具有一阶连续偏导数）六、设函数)(xu由方程组0),(0),,(),(zxhzyxgyxfu所确定,且.,0,0dxduzhyg求(hgf,,均可微)七、设),,(txfy而t是由方程0),,(tyxF所确定的yx,的函数,求.dxdy八、设),(yxzz由方程),(xzyyxxF=0所确定,证明:xyzyzyxzx.一、1、yxyx；2、yyxzzzzxxlnln1；3、yyxzzyzxzln11.四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz.五、1、13,)13(2)16(zxdxdzzyzxdxdy；2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu,1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv.练习题答案六、zyxzyyxxxhghgfggffdxduzyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf