平行线与拐点问题(经典)

判定：已知角的关系得平行的关系．推平行，用判定．性质：已知平行的关系得角的关系．知平行，用性质．平行线的“判定”与“性质”有什么不同:课堂小结已知：AB∥CD，∠1=∠2.试说明:BE∥CF.证明：∵AB∥CD∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2即∠3=∠4∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）练一练平行线与“拐点”问题〖情景导入〗EDCBA已知如图，AB∥CD，若线段AC是拉直的橡皮筋，在AC上任取一点E，向不同的方向拉动点E，那么∠A、∠C、∠AEC之间有何关系呢？右上左上一个动点与两条平行线的位置关系①点在两平行线之间②点在两平行线之外一个动点与两条平行线的位置关系①点在两平行线之间②点在两平行线之外AECDB图1ABECD图2ABCDE图3ABCDE图4ABCDE图5ABCDE图6（2）燕尾型（或M型）如图2，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？方法指导ABCD图1E解：过点E作EF∥AB。∵AB∥CD（已知）∴EF∥AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠B=∠BEF∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）∵∠BED=∠BEF+∠DEF∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）AECDBF一推：平行二推:角相等或互补三推：加法或减法四推：替换解：过点E作EF∥AB。∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换）∴∠B+∠D=∠BEDAECDB图3FABCDEF解：延长线段BE交CD于点F∵AB∥CD∴∠B=∠EFD∵∠EFD+∠D+∠FED=180°又∵∠BED+∠FED=180°∴∠BED=∠EFD+∠D∴∠BED=∠B+∠D辅助线添法：过拐点作已知直线的平行线（四部曲）或延长线（利用邻补角互补，三角形内角和），逢“拐点”,作平行。一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线。变式训练：1.如下图所示，直线AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=。65°如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()(A)180°(B)270°(C)360°(D)540°教材母题（教材P23第7(2)题）CADBEF（1）铅笔型如图1，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？方法指导ABCD图1E解：过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴AB∥CD∥EF∴∠B+∠BEF=180°∴∠FED+∠D=180°∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°∵∠BED=∠BEF+∠DEF∴∠B+∠BED+∠D=360°ABECDF〖练习〗1．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=__________.42°23°EDCAB65°2.如图，AD∥BC，∠B=135°，∠A=145°，则∠E=___________.135°145°ADEBC80°巧用平行解决“拐点”问题〖探究3〗（锄头型）将点E向线段AB的右上方拉动，如图.已知AB∥CD，∠A、∠C、∠AEC之间的关系.DCBAE解关系为：∵AB∥CD∴∠C=∠1∵∠A+∠E+∠2=180°∠1+∠2=180°∴∠1=∠A+∠E∴∠C=∠A+∠E巧用平行解决“拐点”问题DCBAEF解：过点E作EF∥AB。∵AB∥CD（已知）∴EF∥AB∥CD∴∠A=∠AEF∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等）∵∠FEC=∠AEF+∠AEC∴∠C=∠A+∠AEC〖结论〗：∠AEC=∠C-∠ADCBAE〖练习3〗如图，AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数的为___________.75°25°CDFBAE50°返回变式训练：1、如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（）A.5°B.15°C.25°D.35°巧用平行解决“拐点”问题〖探究4〗（犀牛角型或靴子型）若将点E向线段AB的左上方拉动（如图）.已知AB∥CD，问∠B、∠D、∠ABE的关系.ABCDE图5巧用平行解决“拐点”问题解：过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴AB∥CD∥EF∴∠ABE+∠BEF=180°∴∠FED+∠D=180°∵∠FED=∠BEF+∠BED∴∠BEF+∠BED+∠D=180°∴∠ABE=∠BED+∠D〖结论〗：∠E=∠ABE-∠DABCDEFDCEABF过点E作EF∥AB∴∠FEA=∠A∵AB∥CD（已知）∴CD∥EF∴∠FEC=∠C∵∠FEA=∠FEC+∠AEC∴∠A=∠C+∠AEC例2.请思考：若改变点E的位置，则∠BED与∠B、∠D的数量关系会发生变化吗？∠BED=∠B－∠D∠BED=∠D－∠B∠BED=∠D－∠B∠BED=∠B－∠DABCDE图4ABCDE图6ABCDE图5ABCDE图74.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2＝______；（2）∠1＋∠2＋∠3＝_____；（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_____；（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝；180°360°540°（n-1)180°变式3：如图,若AB∥CD,则：ABCDE当左边有两个角，右边有一个角时：∠A+∠C=∠E当左边有两个角，右边有两个角时：∠A+∠F=∠E+∠DCABDEFE1CABDE2F1当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠F1+∠C=∠E1+∠E2CABDEFGH解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD∴AB||CD||EG||FH∴∠A=∠1，∠2=∠3，∠4=∠D∴∠A+∠3+∠4=∠1+∠2+∠D∴∠A+∠EFD=∠AEF+∠DCABDE1F1E2EmF2Fn∠A+∠F1+∠F2+…+∠Fn=∠E1+∠E2+…+∠Em+∠D当左边有n个角，右边有m个角时：若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？（同类拓展变题）⑵如图AB∥DC，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？BAEFGDC变式训练：3、已知:如图所示∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE=140°.求证：AB//DE.ABCDE5.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的不动点．其中PA与l1相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l2相交为∠3．（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上运动，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系是否变化？（2）若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系有怎样？说明理由．（1）∠2=∠1+∠3．（2）①如图2所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3-∠1②如图3所示，当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1-∠3