平行四边形典型问题分类解析

1平行四边形典型问题分类解析为了开阔同学们的视野，特就一些平行四边形典型问题分类选解几例，希望同学们从中得到启示．1．证明线段垂直例1已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点，求证：CM⊥DM．分析：根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件．又有已知中AB=2BC和M为AB的中点，可以得到相等的角．其中有内错角相等，也有等边对等角性质的应用，使∠CDM＋∠DCM=90，可使问题得到解决．证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∴∠AMD=∠CDM，∠BMC=∠DCM，∵AB=2BC，M是AB的中点，∴AD=AM=BM=BC．∴∠ADM=∠AMD，∠BMC=∠BCM∴∠ADM=∠CDM，∠BCM=∠DCM，∴∠CDM=21∠ADC，∠DCM=21∠BCD．又∠ADC＋∠BCD=180，∴∠CDM＋∠DCM=90，即∠DMC=90．∴CM⊥DM．评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出∠DMC=90，从而得到结论．这是证明两线段互相垂直的常用方法．2．证明线段平行例2如图，AB、CD交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连结AF、BE．求证：AF∥BE．分析：从已知条件可证△AOC≌△BOD，得到OC=OD，又有E、F为OC、OD中点，则OE=OF，判定四边形AFBE为平行四边形，即有AF∥BE．证明：连结BF、AE，∵AC∥DB，∴∠C=∠D．在△AOC和△BOD中，有.,,BOAOBODAOCDC∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD．又E、F为OC、OD的中点，∴OE=OF，∴四边形AFBE是平行四边形，∴AF∥BE．AMDBC例1图ACOFBDE例2图2评析：学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法．3．证明线段相等例3如图，△ABC中，AB=AC，P是BC上的一点，PE∥AC，PF∥AB，分别交AB、AC于E、F，请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想．分析：从已知条件中不难证明PF=AE，PE=BE，从而PE、PF、AB之间满则关系式PE＋PF=AB．即猜想结论：PE＋PF=AB．证明：∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BPE=∠B，∴PE=BE．PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF=AE．∵BE＋AE=AB，∴PE＋PF=AB．评析：在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路．4．求线段的长度例4如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120，∠B=60，∠C=150，求AD的长．分析：要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决．解：点C作CE∥AB交AD于E，∵∠A＋∠B=180，∴AD∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=120．又∵∠BCD=150，∴∠DCE=30．而∠D=360－120－60－150=30，∴∠D=∠DCE=30，∴DE=CE，∴AD=8＋6=14．评析：在判定AD∥BC后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线．DCBAE例4图EBPCFA例3图3证题技巧—面积法由于等底等高的三角形的面积等于平行四边形面积的一半;相似三角形面积的比等于相似比的平方;等高三角形面积的比等于底的比,等底三角形面积的比等于高的比;同底(或等底)等高(同高)的三角形的面积相等.因此,题目中如有平行线、角平分线或等底等高的三角形时，可试用面积法处理。[例1]已知:如图1.ABCD，F、E分别在BC、CD上，DG⊥AF于G，BH⊥AE于H，若DG=BH，则AF=AE证明：连结BE、DF∵S△ABE=SABCDS△ADF=SABCD∴S△ABE=S△ADF∵DG⊥AFBH⊥AE∴S△ABE=AE.BHS△ADF=AF.DG∵DG=BH∴AF=AE[例2]如图2,OO1和OO2外切于点P,AB过点P交OO1和OO2于A、B，BH切OO2于B，交OO1于C、H，（1）求证：△BCP∽△HAP12121212图1图24（2）若AP∶PB=3∶2且C为AB中点，求HA∶BC证明(1)过点P作两圆的公切线交BH于点E由切线长定理知BE=PE所以∠2=∠3由弦切角定理知∠4=∠5又∠4=∠3所以∠5=∠2又∠1是圆内接四边形APCH的外角,所以∠1=∠A所以△BCP∽△HAP(2)因为△BCP∽△HAP所以因为△HAP和△BHP同高.所以又△HBP和△BCP同高.且C为BH的中点,所以,所以,所以,[例3]已知:如图3,S△ABC=20DE∥BC,,S△BDE=y写出y与x之间的函数关系式解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴S△ADE=20x2又△ADE和△BDE同高S△HAPS△PBC2HABC=S△HAPS△PBHAPPB==32S△BCPS△PBHBCBH==12S△HAPS△PBC=3HABC=3ADAB=xS△ADES△BDEADBD==x1-xS△ADES△ABC2ADAB==x2∴∴5y=20x-20x2EDCBAlQPDCBA练习:已知如图4,平行四边形ABCD中,AB=3,AD=5,P是BC上任一点,PQ∥AB交AC于点Q,BP=x,求S四边形PCDQ∴图3图4