统计学第五章-概率与概率分布

第五章概率与概率分布第五章概率与概率分布第一节概率基础第二节随机变量及其分布学习目标1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算法则3.理解随机变量及其分布，计算各种分布的概率4.用Excel计算分布的概率第一节概率基础一.随机事件及其概率二.概率的性质与运算法则随机事件的几个基本概念试验1.在相同条件下，对事物或现象所进行的观察2.例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数3.试验具有以下特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果事件的概念1.事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为32.随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数3.必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于74.不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6事件与样本空间1.基本事件一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数2.样本空间一个试验中所有基本事件的集合，用表示例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}在投掷硬币的试验中，{正面，反面}事件的关系和运算（事件的包含）ABBA若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或AB或BA事件的关系和运算（事件的并或和）事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合，记为A∪B或A+BBAA∪B事件的关系和运算（事件的交或积）ABA∩B事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为B∩A或AB事件的关系和运算（互斥事件）ABA与B互不相容事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点事件的关系和运算（事件的逆）AA一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为A事件的关系和运算（事件的差）A-BAB事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B事件的关系和运算（事件的性质）设A、B、C为三个事件，则有1.交换律：A∪B=B∪A2.A∩B=B∩A2.结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)=(AB)C3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)事件的概率事件的概率1.事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量2.表示事件A出现可能性大小的数值3.事件A的概率表示为P(A)4.概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125概率的古典定义如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记为nmAAP＝事件个数样本空间所包含的基本所包含的基本事件个数事件)(概率的古典定义（实例）【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男性的概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁公司所属企业职工人数工厂男职工女职工合计炼钢厂炼铁厂轧钢厂4000320090018001600600620048001500合计8500400012500概率的古典定义（计算结果）解：(1)用A表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则68.0125008500)(全公司职工总人数全公司男性职工人数AP(2)用B表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则384.0125004800)(全公司职工总人数炼钢厂职工人数BP概率的统计定义在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为pnmAP)(概率的统计定义（实例）【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有4.03012)(试验的天数超过用电指标天数AP主观概率定义1.对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定2.概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断3.例如，我认为2001年的中国股市是一个盘整年概率的性质与运算法则概率的性质1.非负性对任意事件A，有0P12.规范性必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P()=1；P()=03.可加性若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的加法法则法则一1.两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)2.事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的加法法则（实例）504.0125001500125004800)()()(BPAPBAP【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B的和，其发生的概率为概率的加法法则法则二对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)概率的加法法则（实例）【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一种报纸}。则P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.2+0.16-0.08=0.28条件概率与独立事件条件概率在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P(B)P(AB)P(A|B)=条件概率的图示事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A事件B一旦事件B发生概率的乘法公式1.用来计算两事件交的概率2.以条件概率的定义为基础3.设A、B为两个事件，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)概率的乘法公式（实例）【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解：设Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)0224.09991491000150)|()()(12121AAPAPAAP事件的独立性1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)3.此时概率的乘法公式可简化为4.P(AB)=P(B)·P(B)4.推广到n个独立事件，有5.P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)事件的独立性（实例）【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率解：设A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，A3为丙机床需要看管的事件，依题意有(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.90.80.85=0.612(2)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108全概公式设事件A1，A2，…，An两两互斥，A1+A2+…+An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2,…,n)，则对任意事件B，有niiiABPApBP1)|()()(我们把事件A1，A2，…，An看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B能且只能在原有A1，A2，…，An之一发生的条件下发生，求事件B的概率就是上面的全概公式全概公式（实例）【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。解：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”。根据全概公式有0345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(31iiiABPApBP贝叶斯公式（逆概公式）1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因2.设n个事件A1，A2，…，An两两互斥，A1+A2+…+An=(满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2,…,n)，则njjjiiiABPApABPAPBAP1)|()()|()()|(贝叶斯公式（实例）【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率解：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：232.00345.002.04.0)|(406.00345.004.035.0)|(3623.00345.005.025.0)|(321BAPBAPBAP第二节随机变量及其分布一.随机变量的概念二离散型随机变量的概率分布三连续型随机变量的概率分布随机变量的概念随机变量的概念1.一次试验的结果的数值性描述2.一般用X、Y、Z来表示3.例如:投掷两枚硬币出现正面的数量4.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量1.随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来X1,X2，…2.以确定的概率取这些不同的值3.离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性为0,女性为1连续型随机变量1.随机变量X取无限个值2.所有可能取值不可以逐个列举出来，