流体力学第5章--平面势流理论

第5章平面势流理论在不可压缩理想流体中，当流动无旋时，称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流中不仅存在速度势，同时存在流函数。它们均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初始条件下具有实际背景的许多问题的解答。工程流体力学由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变函数这门数学工具求解平面势流。在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学的重要部分。工程流体力学5.1平面势流的复势5.1.1复势的定义在平面势流中，同时存在着速度势和流函数，流速场在直角坐标系中有关系式uxyvyx－工程流体力学解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面势流。这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组成一个解析复变函数()iWzi,zxyi1式中工程流体力学5.1.2几种简单的平面势流复势1.均匀直线流动（均流）当流动速度为，方向同x轴方向一致时，复势0U0000()i(i)WzUxUyUxyUzi0()eWzUz若均流的，，如图5.1所示，则复势0cosuU0sinvU图5.1不同方向的均流yxOU0工程流体力学2.源和汇当将源或汇置于极坐标的原点时，复势()lni2π2πmmWzri(lni)(lnlne)2π2πmmrrilneln2π2πmmrz若源或汇置于复平面处，则其复势0z0()ln()2πmWzzz工程流体力学3.环流（1）点涡。点涡也称平面圆旋，是一团无限长的直圆筒形流体，流体质点均绕本身的中心旋转，旋转的角速度，大小是，方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径是，且是一个小量，因此也称它为点涡。点涡的强度a22πa式中——涡束的半径；——内部流体质点旋转角速度大小；——速度环量。a工程流体力学（2）环流。由于圆旋的存在，则周围流体将引起一个诱导速度场，也称为环流，该诱导速度场是平面势流。若点涡的强度是，将它置于原点，点涡的旋转方向是逆时针，则，若是顺时针，则。其复势00()iln2π2πWzr(iln)(lni)2π2πirrln2πiz0()ln()2πiWzzz点涡置于复平面处，则其复势工程流体力学4.偶极子当等强度的源、汇（源至汇的方向为x方向）无限靠近，并置于原点时，复势cossin()i2π2πMMWzrr11(cosisin)(cosisin)cosisin2π2πcosisinMMrr12πMz工程流体力学若偶极子中源到汇的方向与轴成角，则复势x0e()2π-iMWzzz若偶极子放置在处，且偶极子中源到汇的方向同轴，则复势0zzx01()2πMWzzz工程流体力学5.2复速度5.2.1复速度和共轭复速度平面势流的流动复势已知时，便可以对复势求导，若复势()iWz对进行微分，得zdiiidWuvzxxyy复势导数的实部是轴向的速度分量，导数的虚部是y轴向的速度分量的负值，如图5.2所示。yxOvu+ivu-iv图5.2复速度工程流体力学didWuvz通常称为复速度，称为共轭复速度。显然复速度的模是速度的大小ddWzddWz22ddWuvUz复速度有可能写为idedWUz一旦得到复势，就可以得到流场的速度场d()Redd()ImdWzuzWzvz工程流体力学图5.3速度环量yxzldlvO5.2.2复速度的积分1.速度环量l在流场中，取一封闭的空间曲线l，在l上取微分线段dl，如图5.3所示，该处流体速度为，则定义为沿曲线l的速度环量，以表示（简称环量）。lvllvdllvdzwyvlulddd工程流体力学流动是势流，那么存在速度势),,,(tzyx2.复速度积分在平面流场中取一封闭曲线l，复速度对闭合回路l的积分为物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分，其实部等于沿该曲线的速度环量，虚部等于由内向外通过该封闭曲线的体积流量。llQlllzzyyxxΓddddllllldzWzzzWid)idd()(ddd)(d工程流体力学【例5.1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是，在原点处压强为，试求：（1）上半平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3）沿x轴的压强分布。)0(2aazW0p【解】（1）复速度d22(i)2i2dWazaxyaxayz则流场的速度分布22uaxvay工程流体力学（2）由复势2222(i)()i2Wazaxyaxyaxy得流函数axy2流线方程常量，上半平面的流线图如图5.4所示。Cxy(0)y（3）由于流动是无旋的，按拉格朗日方程求压强分布22pVC式中；222Vuvar——原点到该点的距离。ryxO图5.4的流线图2Waz=工程流体力学当处，，，，此时0r0pp0V0pC22042rapp即为平面中各点压强分布。2202rapp【例5.2】已知某一平面势流，其流动复势为，（1）试分解这种流动为最简单的流动；（2）求沿圆周的环量和通过这一围线的流量。3ln2)(zzzW422yx【解】平面势流具有叠加原理，将两个或更多的简单平面势流叠加成复杂的平面势流，复杂流动的复势只须将原先简单流动的复势简单地代数相加即可。工程流体力学（1）解析下式：()2ln2ln2ln(3)3zWzzzz对于，是源强度放置于（0,0）点的复势；zln24πm对于，是汇强度放置于（3,0）点的复势。)3ln(2z4πm（2）沿圆周的环量和通过该围线的流量为422yxd112d3WzzzzzzΓdd)(dWRe2z2z22zdd)(dWImZzzzQ工程流体力学按留数定理22πi104πi故20z24πzQ由于在区域内无点涡存在，故环流的强度为零。由于在内有强度为的源存在，故体积流量为。422yx422yx4π4π)d311(2dddW222zzzzzdzzzz工程流体力学【例5.3】某一平面势流，其流动复势为一般的对数函数（A，B为实常数）；试分解这种流动为最简单的流动和绘制流动图形。()(i)lnWzABz【解】有以下解析式：()(i)lnlnilnWzABzAzBz对于是强度为的源（汇）放置于（0,0）点的复势；zAzWln)(12πmA对于，则是强度为的点涡放置于（0,0）点的复势。（当时，点涡为顺时针方向旋转，反之则为逆时针方向旋转）2()ilnWzBz2πB0B工程流体力学流动图形的分析：i()(i)ln(i)lne(ln)i(ln)WzABzABrArBABr故速度势函数BrAln流函数rBAln流场中速度分布rAvrrBvrr22ABvr流线C工程流体力学即CrBAlnlnelnABrClneBArCΨc'φcyx图.5面涡源流5平也即1eABrC它们都是对数螺线，如图5.5所示。同理，等势线为ABeCr2图5.5平面涡源流工程流体力学5.3求解平面势流复势的方法在许多情况下直接找流动的复势要比求解和来得容易，本章简单介绍三种在一定条件下求解平面势流复势的方法。工程流体力学5.3.1奇点分布法上面已经介绍了几种简单的平面势流并给出了它们的复势，这几种简单流动称为流体力学奇点。所谓奇点分布法：1.绕圆柱无环量的流动将无限长圆柱体放置在均流中，就是绕圆柱体无环量的流动，其流动图形如图5.6所示。观察流线图谱可发现以下现象：yxO图.6圆柱体无环量流动5绕图5.6绕圆柱体无环量流动工程流体力学当均流叠加偶极子组合，会有圆柱流线形成。它们组合流场的复势为U0(a)U0(b)U0(c)+m+m-m-m+m（1）当均流叠加源流，会有半无限物体的流线形状，如图5-7(a)所示。（2）当均流叠加等强度源汇，会有绕朗金椭圆（如图5.7(b)所示）和开尔文椭圆（如图5.7(c)所示）的流线形状。图5.7均流和源叠加（a）、均流和源、汇叠加（b）、（c）工程流体力学对于这个组合流场，只要选择适当的偶极子强度和均流速度的大小，使一条零流线与圆柱表面正好重合即可。M0U()ra首先引入，得iezrii0()ee2πMWzUrr展开上式可得0coscos2πMUrr0sinsin2πMUrr(0)MzMzUzWzWzW12)()()(021p工程流体力学为确定零流线，令，，那么可得到零流线与圆柱面重合的条件为rara202πMaU流场的势函数和流函数分别为202(1)cosaUrr202(1)sinaUrr流线族202(1)sinaUrCr如图5.8所示。U0yx图5.8均流叠加偶极流场工程流体力学zazUzW20)(（1）流场的速度分布：202(1)cosravUrr202(1)sinavUrr0rSv02sinSvU设点为圆柱表面上任意一点，则，速度分布为SraS工程流体力学如图5.9所示，在圆柱的前后驻点和上和速度；在上下侧点和上，速度分别为，速度的大小是来流速度的两倍，是圆柱面上最大速度点。AB0(18000)0vCD0(90)02vU（2）圆柱体表面压强分布无穷远处来流压强为，则圆柱体表面上任意点的压强由拉格朗日方程求得：pSp22022SpUpv其中02sinvU得2201(14sin)2sppUU0D2U02U0ABC图5.9圆柱表面特殊点速度工程流体力学圆柱体表面的压强分布关于，轴对称，前后驻点，处，的压强最大：SpxyAB0(18000)2,max012SppU而上，下侧点和处压强最小：CD0(90)定义压强因数：2,min032SppU22014sin12spppCU圆柱表面压强分布图5.10所示。工程流体力学10-1-2-3090°180°CpIIIIIIIII实测湍流()II实测层流()I理想流体图.10柱体表面压强分布5圆在前后驻点处，，为最大值，即；0(18000)pC1pC在处，为最小值，即；090pC3pC在和处，，即该处的压强。03001500pC0pp图5.10圆柱体表面压强分布工程流体力学从压强分布图可以看出，压强在圆柱表面是对称于，轴的，因而沿圆柱表面积分而得的合力必然等于零。这一结论可以推广到任意形状的物体上去，故物体在理想流体中作等速直线运动时，所受到的阻力等于零，这就是著名的达朗贝尔佯缪。xy工程流体力学【例5.4】密度为的半直圆柱由于自重沉于水底，速度为的均流绕过此半直圆柱，半直圆柱与河底面间有很小间隙，滞止压强是，如图5.11所示，求能使半直圆柱浮起的最小水流速度。b0U0p0U)sin41(2220Uppaz【解】半直圆柱在均流中，其圆柱表面的压强为相对于无穷远处的相对压强为)sin41(2220Upp工程流体力学半直圆柱表面所受动压力在y轴分力