直角三角形和等腰三角形

衢州华茂外国语学校初三备课组目录中考目标1知识概要2基本练习3范例精析4一、中考目标等腰三角形①了解等腰三角形的有关概念a②探索并掌握等腰三角形的性质c③探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件c④了解等边三角形的概念a⑤探索等边三角形的性质c一、中考目标直角三角形①了解直角三角形的概念a②探索并掌握直角三角形的性质c③探索并掌握一个三角形是直角三角形的条件c④体验勾股定理的探索过程b⑤会用勾股定理解决简单问题c⑥会用勾股定理的逆定理判定直角三角形b二、知识概要1.概念：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形②等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形③互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题为互逆命题，其中一个命题称为另一命题的逆命题。等腰三角形等边三角形二、知识概要性质判定等腰三角形①两底角相等，两腰相等②“三线合一”定理③轴对称图形，有一条或三条对称轴①两条边相等②等角对等边③“三线合一”的逆定理等边三角形①三条边相等，三个角相等②内心和外心重合③轴对称图形，有三条对称轴①三边都相等②三角都相等③有一个角为60º的等腰三角形2.性质：等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数，求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.ABCD12二、知识概要1.概念：直角三角形、勾股定理及其逆定理2.性质：直角三角形的性质①两锐角互余②斜边上的中线等于斜边的一半bc③30º角所对的直角边是斜边的一半④ch=ab=2S(h为斜边上的高，S为面积）a勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边并的平方和等于斜边的平方如果三角形中较小两边的平方和等于较大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，较大边所对的角是直角。1.等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15，8两部分，则它的底边长为________.2、“同角的余角相等”的逆命题是___________________.3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的高与底边所夹的度数为_________.三、基本练习㈠填空题335º或20º如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角G4.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.则BF与CF的数量关系为_________BF=CF21ABCEF三、基本练习5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数值之比为1:2:3，且AB=6cm，则AB边上的中线长为________cm.6.已知直角三角形的两条直角边为3和4，那么该直角三角形斜边上的高线长为__________.7.如图，若直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为l，那么这个直角三角形的面积是_________.31ABCDE12/56三、基本练习㈡选择题1.下列命题中，正确的是（）。(A)两腰对应相等的两个等腰三角形全等(B)两条边彼此相等的两个直角三角形全等(C)有一高对应相等的等边三角形全等(D)有一条边彼此相等的等腰直角三角形全等2.等腰三角形的一个内角为98º，那么一腰上的高线与底边的夹角为（）。(A)49º(B)41º(C)36º(D)8º3.下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底边；④已知底边和底边上的高；⑤已知腰和腰上的高线。其中能确定一个等腰三角形的条件是（）。(A)①②③(B)②③④(C)②④⑤(D)③④⑤CAB三、基本练习4.如果三角形的三条边上的高线的交点在此三角形的一个顶点上，那么这个三角形为（）。(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形5.某区在旧城改造中要将一块如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为10元，则购买这种草皮至少要（）。(A)4500元(B)2250元(C)1500元(D)3000元6.若△ABC的三条边a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是（）。(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形BCD150º7、如图，∠AOP=∠BOP=１5°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=_______.8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=_______.ABCM23:29.如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行(A,C端点除外),设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是()A.D＞hB.d＜hC.d=hD.无法确定C例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CFBACED123F分析：CD=CF∠2=∠1∠1=∠B+∠BAD∠2=∠3+∠DAC∠3=∠B∠2=90°－∠BAD∠1=90°－∠CAD∠ACB=90°，CE是AC边上高四、范例精析例2.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中CMBMMCEBCEBDABCDEM∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形例3.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，请说明△DEF也是等边三角形的理由.解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BC=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可证EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例4.如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由.思路在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°证明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。例5.如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形,是△ABC的高,是的高,是的高,是的高,……,是的高.⑴求,和的长.⑵根据⑴的计算结果猜想的值(用含n的代数式表示,n为正整数).1BB△21BB32BB21BABn1nBB—43BB32BB21BB1ABB△1n2nBAB——△32BAB△1BBn1nBB—1B2B3B4B例6.如图,抛物线(a＜0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使OCA∽OBC.⑴求线段OC的长.⑵求该抛物线的函数关系式⑶在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.△△a12+ax8ax=y2—例7、（山东临沂）△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=900,如图（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如图（2），如图（3），请用类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。例8.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90º，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，且AE=BD.求证：BD是∠ABC的角平分线。2112ABCDEF例9.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°ＣaＥＦＨ在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！ACB50°110°20°1、对∠A进行讨论2、对∠B进行讨论3、对∠C进行讨论CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°（分类讨论）ACB50°110°20°例题例1:如图在△ABC中,∠C=90度,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若◎O的圆心在线段BP上,且◎OAB,AC都相切,求◎O的半径.例2:已知在△ABC中,∠B=90度,∠BAD=∠ACB,AB=2,BD=1,过点O作DM⊥AD于M,DM的延长线与过点C的垂线交于点P.(1)求sin∠ACB的值.(2)求MC的长(3)若点Q以每秒1单位的速度由C向P运动,是否存在某一时刻t,使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积;若存在,求出t的值，若不存在，请说明理由。