第四章分离变量法(1)

1习题3.11．考察长为l的均匀细杆的导热问题，若（1）杆的两端温度保零度；（2）杆的两端均绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热，而初始温度分布均为)(x；试用分离变量法求解在这三种情况下的杆的导热问题的解。解：（1）该问题的数学模型为)()0,(0,0),(),0(0,0,2xxuttlututlxuauxxt其Da2Step1：分离变量：令)()(),(tTxXtxu，代入齐次方程及齐次边界条件有：0)()()()0()()()()(2tTlXtTXtTxxatTxX由于0)(,0)(tTxX所以有：0)()0()()()()(2lXXtTatTxXxX整理得0)()(0)()0(0)()(2tTatTlXXxXxXStep2：求解特征值问题0)()0(0)()(lXXxXxX讨论：若0，则0)(xX此时DxCxX)(将0)()0(lXX代入得0DC，于是0)(xX∴=0不合适，舍去。若0时方程0)()(xXxX的特征方程为02r∴2,1r2∴xxDeCexX)(将0)()0(lXX代入得00llDeCeDC得C=-D=0∴0)(xX∴0也不合适，舍去。若0时方程0)()(xXxX的特征方程为02r∴ir2,1∴xDxCxXsincos)(将0)0(X代入有C=0将0)(lX代入有0sinlD∵0D∴0sinl∴nl∴,2,1,)(2nlnn此时,2,1sin)(nxlnDxXnnStep3：将2)(lnn代入关于)(tT的常微分方程有0)()()(2tTlantTnn∴,2,1)(2)(neCtTtlannn∴tlannnnnneClxnDtTxXtxu2)(sin)()(),(xlneatlannsin2)(,2,1n其中na待求。Step4：叠加11)(sin),(),(2nntlannnxlneatxutxu由于)()0,(xxu3所以：1sin)(nnxlnax∴,2,1,sin)(20nxdxlnxlaln综上知该热传导问题的解为：1)(sin),(2ntlannxlneatxu其中lnnxdxlnxla0,2,1,sin)(2（2）该问题的数字模型为)()0,(0,0),(),0(0,0,2xxuttlututlxuauxxxxt其Da2Step1：分离变量：令)()(),(tTxXtxu，并代入齐次方程及齐次边界条件中有：0)()()()0()()()()(2tTlXtTXtTxxatTxX由于0)()(t，TxX故上面方程可化为所以有：0)()0()()()()(2lXXtTatTxXxX整理得0)()0(0)()(0)()(2lXXtTatTxXxXStep2：求解下面的特征值问题0)()0(0)()(lXXxXxX讨论：若0，则方程变为0)(xX这样xDCxX00)(∵0)(DxX而0)()0(lXX∴00D此时有0)(CxX（取0C0即可）4若0时则方程0)()(xXxX的特征方程为02r∴2,1r∴xxDeCexX)(xxeDeCxX)(∵0)0(X∴0DC0)(lX∴0lleDeC∴C=-D=0此时0)(xX∴0不合适若0时，方程0)()(xXxX的特征方程为02r∴ir2,1∴xDxCxXsincos)(xDxCxXcossin)(∵0)0(X∴0D∵0)(lX∴0sinlC∵0C∴0sinl∴,2,1,)(2nlnnln∴,2,1,cos)(nlxnCxXnn综上所述。该问题的特征值为2)(lnn特征函数为2,1,0,cos)(nxlnCxXnnStep3：将2)(lnn代入关于)(tT的微分方程求)(tT有：0)()()(2tTlantTnn∴,2,1,0)(2)(neDtTtlannn5∴tlannnnnnexDlnCtTxXtxu2)(cos)()(),(,2,1,0,cos2)(nxelnatlannStep4：叠加，原方程的解为：11)(cos),(),(2nntlannnxlneatxutxu∵)()0,(xxu∴110cos22cos)(nnnnxlnaaxlnax其中dxxlal)(100,2,1,cos)(20nxdxlnxlaln（3）该问题的数字模型为：)()0,(0,0),(,0),0(0,0,2xxuttlututlxuauxxxt其中Da2Step1：分离变量：令)()(),(tTxXtxu，代入齐次方程及齐次边界条件中有：0)()()()0()()()()(2tTlXtTXtTxxatTxX由于0)(,0)(tTxX整理上面方程有所以有：0)()0()()()()(2lXXtTatTxXxX整理得0)()(0)()0(0)()(2tTatTlXXxXxXStep2：求解下面的特征值问题0)()0(0)()(lXXxXxX6讨论：若0，则0)(xX∴DxCxX)(这样DxX)(∵00)0(CX00)(DlX∴0)(xX∴0不合适，舍去。若0时则方程0)()(xXxX的特征方程为02r∴2,1r∴xxDeCexX)(xxeDeCxX)(∵0)0(X∴0DC0)(lX∴0lleDeC∴C=-D=0∴这说明0也不合适若0时，方程0)()(xXxX的特征方程为02r∴ir2,1∴xDxCxXsincos)(xDxCxXcossin)(∵0)0(X∴0C∵0)(lX∴0coslC∵0C∴0cosl∴,2,1,0,)21(2nlnn7∴xlnDxXnn21sin)(Step3：将2)21(lnn代入关于)(tT的微分方程有：0)()21()(2tTalntTnn得,2,1,0)(2)21(neCtTtalnnn∴talnnnnnnexClnDtTxXtxu2)21(21sin)()(),(xlneatalnn21sin2)21(Step4：叠加，原方程的解为：11)21(21sin),(),(2nntalnnnxlneatxutxu∵)()0,(xxu∴121sin)(nnxlnax其中2,1,0,,21sin)(20ndxxlnxlaln2．今有一弦，其两端被钉子钉紧作自由振动，其初始位移为：21)21)(xxh(xohxx初速度为零，试求弦振动方程的解（其中h为常数）解：该问题的数字模型为0)0,(),()0,(0),(),0(,22xuxxutlutuotxouautxxtt由本节推导知：81sinsincos),(nnnxlnatlnbtlanatxu其中2l)()0,(xxuxlnaxhn1sin)(lnxdxlnxla0sin)(2xdxnx202sin)(xdxnxxdxnx21102sin)(2sin)(xdxnxhxdxnhx21102sin)2(2sin2112cos)2(22cos2xndxnhxnxdnho21102cos122cos)2(22cos012cos2xdxnxnxnhxdxnxnxnh122sin202012sin22xnnnhxnnnh2sin0)(42sin)(422nnhnnh2sin)(82nnh,...2,1n又∵xlntlanlanbtlanlanatxunnntsincossin),(1∵0)0,(xut，∴1sin0hhxlnlanb，∴0nb∴原方程的解为xlntlanatxuhnsincos),(1122sin2cos2sin)(8hxntannnh3．求解下面的定解问题（1）0),(),0(0)0,(,sin3)0,(0,0,2tutuxuxxutxuautxxtt解：根据本节推可知（其中l）1sin)sincos(),(nnnxlntlanbtlanatxu9nxnatbnatannnsinsincos11sin]cossin[),(nnntnxnatnabnatnaatxuxxusin3)0,(，1sinsin3hnnxax2,3,n,0a,3n1a0)0,(xut，10sinh0hnxnab，1,2,n0nbxatxatatxusincos3sincos),(1(2)0)0,(,)0,(0),(),0(0,0,32xuxxutututxaautxxxtt解：取lStep1:分离变量：令),()(),(tTxXtxu并代入齐次方程和齐次边界条件有：)()()()(2tTxXatTxX0)()()()0(tTXtTX由于0)(,0)(tTxX∴上面方程变形为)()()()(2tTatTxXxX0)()0(XX整理有0)()0(0)()(XXxXxX0)()(2tTatTStep2:求解特征值问题0)()0(0)()(lXXxXxX10由第1题知22)21(21nlnn)21sin(21sin)(xnCxlnCxXnnn，,2,1,0nStep3:将2)21(nn代入关于T（t）的微分方程0)()21()(22tTantTnn其特征方程为0)21(222an，ina)21(2,1tnaBtnaAtTnnn)21(sin)21(cos)(，n=0,1,2,…)()(),(tTxXtxunnntnaBtnaAxnCnnn)21(sin)21(cos)21sin(xntnabtnaann)21sin()21(sin)21(cosStep4：叠加0),(),(nntxutxuxntnanaann21sin21sin21cos0∵021sin2