立体几何垂直证明-教师

立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）○1等腰（等边）三角形中的中线○2菱形（正方形）的对角线互相垂直○3勾股定理中的三角形○41:1:2的直角梯形中○5利用相似或全等证明直角。例：在正方体1111ABCDABCD中，O为底面ABCD的中心，E为1CC,求证：1AOOE（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证ACBD变式1如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．证明：ADPB；变式2如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：AB⊥PC类型二：线面垂直证明方法○1利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCDABCD中，O为底面ABCD的中心，E为1CC,求证：1AOBDE平面变式1：在正方体1111ABCDABCD中，,求证：11ACBDC平面变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=3.求证：CD⊥平面A1ABB1；变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD求证：AO平面BCD；DACOBEPCBADE变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC∥，90ABC°，PA平面ABCD．3PA，2AD，23AB，6BC1求证：BD平面PAC○2利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，PAABC底面,PACPBC面面，BCPAC求证：面。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1,在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且PABABCD面底面,求证：BCPAB面类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点.(1)求证：//AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；例2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，60ABADACCDABC，，°，PAABBC，E是PC的中点．（1）证明CDAE；（2）证明PD平面ABE；变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，60ABC，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；ABCDEFABCDPE练习：1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：①MbMaba//②baMbMa//③baMab∥M④baMa//b⊥M.其中正确的命题是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是()A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为()A.1B.2C.552D.5537.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是()A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d一定不平行D.α与β不一定相交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题．．．的序号是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确的命题是()A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②第3题图二、能力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.(1)求证:VC⊥AB;(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.(1)求证：BD⊥平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.(3)求点C到平面D′MB的距离.第14题图第15题图第16题图第18题图_A_B_D_C_O_A_B_D_C_O空间中的计算基础技能篇类型一：点到面的距离方法1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。方法2：等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。例2已知在三棱锥V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的距离。变式1：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面1AECF所截而得到的，其中14,2,3,1ABBCCCBE．（1）求BF的长；（2）求点C到平面1AECF的距离．变式2如图，在四棱锥ABCDO中，底面ABCD是四边长为1的菱形，4ABC,OA面ABCD,2OA,．求点B到平面OCD的距离．变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点）例3如图，在四棱锥ABCDO中，底面ABCD是四边长为1的菱形，4ABC,OA面ABCD,2OA,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离．习题：1．正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是A．54B．56C．6D．642．如图，已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A点的最短路线的长为A．10B．20C．30D．40二、填空题：3．太阳光照射高为3m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度AB等于33cm,则该球的体积为_________．4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___．三、解答题：5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．求点B1到平面AMN的距离．6．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）.（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A—CDEF的体积．7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：;ACGN（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明．主视图俯视图232左视图aaa俯视图左视图主视图GEFNMDCBA8．如图，已知正四棱锥ABCDS,设E为AB的中点，F为SC的中点，M为CD边上的点．（1）求证：//EF平面SAD；（2）试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD．9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，M、N分别为BA1、11CB的中点．（1）求证：//MN平面11AACC；（2）求证：MN平面BCA1．（3）求点A到面ANM的距离10正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.11.在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（如图9—21）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC.BAACAC1AB1AA1AMNaaaaaaa2主视图左视图俯视图SBCFDAEO图9—21第4课线面垂直习题解答1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C由线面垂直的性质定理可知.3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.4.D过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.5.A,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.6.DP作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=522BCAC，52ABBCACCD，∴PD=55354122CDPC.7.D由定理及性质知三个命题均正确.8.A显然α与β不平行.9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m11.23cm2设正三角A′B′C′的边长为a.∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．S△A′B′C′=23432acm2．12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.V