8-机动目标动力学模型

  多传感器数据融合  应用篇——目标跟踪机动模型部分  参考书：lKalman滤波器理论与应用——基于MATLAB实现l金学波，科学出版社，2016年出版l第7章机动目标动力学模型  离散Kalman滤波器  1.系统方程为  x(k+1)=A(k)x(k)+w(k)  z(k)=C(k)x(k)+v(k)  E[w(k)wT(j)]=Q(k)δ(k−j)E[v(k)vT(j)]=R(k)δ(k−j)E[w(k)vT(j)]=0            2.  初始化  ˆx(0|0)=E[x(0)]  P(0|0)=E[(x(0)−ˆx(0|0))(x(0)−ˆx(0|0))T]                      2.  Kalman滤波器每一步计算如下，其中!,3,2,1=k  ())1|(ˆ)()()()1|(ˆ)|(ˆ−−+−=kkxkCkzkKkkxkkx            ˆx(k|k−1)=A(k−1)ˆx(k−1|k−1)                1))()()1|()()(()1|()(−+−−=kRkCkkPkCkCkkPkKTT      P(k|k−1)=A(k−1)P(k−1|k−1)AT(k−1)+Q(k−1)                      P(k|k)=(I−K(k)C(k))P(k|k−1)      具有微分方程形式的模型离散化  系统的状态方程及测量方程描述为：  !x(t)=F(t)x(t)+G(t)wc(t)z(t)=H(t)x(t)+v(t)  过程方程的解为00()()0()()()ttttcttetedλλλ−−=+∫FFxxGw，现在将状态完全解进行分段研究，设系统以0T的时间间隔进行采样，即系统的采样周期为0T。我们取00tk=Τ及00tk=Τ+Τ带入上式中，得到  000000()000()()()kkckkekedλλλΤ+ΤΤΤ+Τ−ΤΤ+Τ=Τ+∫FFxxGw  将上式中0Τ省略，只用k或+1k表示离散时刻取值，得到000()0(1)()()ckexkedλλλΤΤ⋅Τ−+=+∫FFxGw  上式中右端第二项00()0()cedλλλΤΤ−∫FGw体现了噪声对系统状态的影响，它是一个积分项，设0eΤ=FA  ，0000()()()kckkedλλλΤ+ΤΤ−Τ=∫FwGw，得到                                (1)()()kkk+=+xAxw  CV模型          CV模型假设目标做匀速直线运动，即目标加速度的理想值为0，但由于干扰的存在，加速度不能维持在0值，而是零均值高斯白噪声()cwt，即wc(t)~N(0,σ2)，用公式表示加速度的变化为  !!x(t)=wc(t)  将上式写为连续时间系统状态方程为  !x(t)!!x(t)⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=0100⎡⎣⎢⎤⎦⎥x(t)!x(t)⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥+01⎡⎣⎢⎤⎦⎥wc(t)  离散化后得到  A=1Τ001⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥                          Q=E[w(k)wT(u)]=13Τ0312Τ0212Τ02Τ0⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥σ2  CA模型          CA模型假设目标做匀加速直线运动，即理想的目标加速度值没有变化，其导数为0，但还是由于干扰的存在，加速度导数变化也不能维持在0值，而是零均值高斯白噪声()cwt，    !!!x(t)=wc(t)  020001201001eΤ⎡⎤ΤΤ⎢⎥⎢⎥==Τ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦FA                                Q=E[w(k)wT(u)]=Τ0520Τ048Τ036Τ048Τ033Τ022Τ036Τ022Τ0⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥σ2      Singer模型          CV模型和CA模型的区别在于前者假设目标机动的“加速度”为噪声过程，而后者假设目标机动的加速度导数为噪声过程，两者的共同点为都假设该噪声过程为零均值高斯白噪声。R.  A.  Singer于1970年提出了著名的Singer模型。Singer模型假设目标加速度为指数自相关零均值随机噪声过程，即a(t)=!!x(t)。()at的时间相关函数为指数形式，即    []2()()()aaREatateατττσ−=+=                              其中2aσ和α是待定参数，在区间[],ttτ+表达了目标的机动特性，2aσ为目标机动加速度方差，α是机动时间常数的倒数，即机动频率。α的确切值只有通过实测才能知道，在实际应用中，可以根据前人的研究结果取经验值：如目标机动形式是飞机慢速转弯，一般α取为160s；逃避机动时α取为120s；大气扰动α取为1。      Singer模型  得到连续模型状态方程为!x(t)!!x(t)!!!x(t)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=01000100−α⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x(t)!x(t)!!x(t)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+001⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥wc(t)，离散化后得到：00000021110100eeeeαααααα−Τ−ΤΤ−Τ⎡⎤Τ−+Τ⎢⎥⎢⎥⎢⎥−==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦FA，过程噪声方差为1112132122223132333wqqqqqqqqqσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q，其中    q11=12α51−e−2αT0+2αT0+2α3T033−2α2T02−4αT0e−αT0⎡⎣⎢⎤⎦⎥q12=12α4e−2αT0+1−2e−αT0+2αT0e−αT0−2αT0+α2T02⎡⎣⎤⎦q13=12α31−e−2αT0−2αT0e−αT0⎡⎣⎤⎦      q22=12α34e−αT0−3−e−2αT0+2αT0⎡⎣⎤⎦q23=12α2e−2αT0+1−2αT0⎡⎣⎤⎦q33=12α1−e−2αT0⎡⎣⎤⎦当前统计模型  当前统计模型是由周宏仁1983年提出来的，其基本思想在于，当目标正以某一加速度机动时，下一时刻的加速度取值是有限的，且只能在“当前”加速度的邻域内。从本质上讲，该模型是Singer模型的改进版本，改进的方面有如下两项：1）加速度的均值为非零值a，并取为当前加速度的预测值，即a=!!ˆx(k+1|k)，且机动加速度仍符合一阶时间相关过程；2）假设加速度的统计特性满足修正的瑞利分布，而不再是Singer模型假设的均匀分布。            可知加速度的模型表示为  !!x(t)=a(t)+a(t)                  !a(t)=−α⋅a(t)+wc(t)      得到如下离散形式的动力学模型为：        (1)()()kkawk+=++xAxU                                      000000000T(T)0(T)002(T)T0(T)2T00T0T(T)11T0101000T11(T)21T1FeEdeedeeeeλαλαλαλαααλαλλαλαααααα−−−−−−−−−−=⎡⎤−−+−⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤−−++⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫U    当目标“当前”加速度为正时：    σa2=4−ππaM−a⎡⎣⎤⎦2                                              当目标“当前”加速度为负时：    []224aMaaπσπ−−=−                                            当目标“当前”加速度为零时，可取2aσ为任意小的正的常值。  交互式多模型算法          无论是Singer模型、当前统计模型都会碰到一个问题，就是实现假设目标机动特性满足某一特定规律，因为实际机动目标运动过程中的噪声特性会有所变化，在某一时间段内跟踪效果较好的模型在下一个时间段内可能就不再保持良好的性能。          IMM包括多个基本模型，根据滤波器结果对每一个模型与当前机动目标的一致性进行估算，利用估算结果对各个模型产生的滤波结果进行加权计算，从而得到比单一模型性能更优的跟踪效果。  0/1ˆˆ(|)()|(1),(|)()NkjjijiikkEkmkkkkµ=⎡⎤=+=⎣⎦∑xxZx  Pj0(k|k)=covˆxj0(k|k)|mj(k+1),Zk⎡⎣⎤⎦=Pi(k|k)+ˆxj0(k|k)−ˆxi(k|k)⎡⎣⎤⎦ˆxj0(k|k)−ˆxi(k|k)⎡⎣⎤⎦T{}i=1N∑µj/i(k)  Yule-­‐Walker方法            a(k)表示一个具有普遍意义的随机过程，写成自回归模型的形式为  a(k)=pma(k−m)m=1M∑+wa(k)  其中wa(k)为零均值白噪声，其方差为2pwσ。            设r(m),m=1,2,!,M，是()pk的自相关函数，Yule-­‐Walker估计方程为：    r(0)r(1)!r(M−1)r(M)r(1)r(0)!r(M−2)r(M−1)r(M)!!r(1)r(0)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥1−α1−αM⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=σw200⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥      自适应参数机动目标模型估计方法  我们利用Yule-Walker方法，按下式计算系统自适应参数α和2aδ，rk(1)=rk−1(1)+1kb⋅ˆa(k)ˆa(k−1)−rk−1(1)⎡⎣⎤⎦rk(0)=rk−1(0)+1kb⋅ˆa(k)ˆa(k)−rk−1(0)⎡⎣⎤⎦自适应参数α和δa2可按照下式计算得到：ln(1)ln(0)kkrrTα−=−δa2=rk(0)−αrk(1)1−rk(1)rk(0)⎛⎝⎜⎞⎠⎟2其中，(1)kr为k时刻的加速度向前一步相关函数，1(0)kr−为k时刻的加速度自相关函数。