信号与系统的频域分析

信号与系统的频域分析3.1信号分解为正交函数一、矢量表示为正交矢量集1、正交完备的概念正交矢量图2V1V021VV若：称两矢量彼此正交；称：正交完备如果没有第三个矢量V3存在，使031VV032VV彼此正交的两矢量构成二维矢量集：若二维矢量集正交完备，则任意矢量可表示为：12,VVV2211VCVCV1121VVCV2222VVVC11VC22VC1V2VV2、高维矢量空间则该空间的任一矢量可以用以下线性组合来精确地描述:nrVVVVV,......,......,,321若n维矢量空间的正交矢量集是完备的，n1122rrnnrrr1VCVCVCVCVCV其中，相关系数：nr,3,2,1二、信号表示为正交函数两个函数g1(t)和g2(t)在时间区间(t1,t2)内正交条件：210)()(21ttdttgtg在时间区间(t1，t2)内没有第三个函数x(t)存在，使：210)()(1ttdttxtg210)()(2ttdttxtg函数g1(t)和g2(t)构成的正交函数集)(),(21tgtg是正交完备的。1、正交函数集任意函数f(t)在区间(t1，t2)内可完全用g1(t)和g2(t)的线性组合来表示：)()()(2211tgCtgCtf2121)()()(2111ttttdttgdttgtfC2121)()()(2222ttttdttgdttgtfC2、高维函数空间若n维函数空间的正交函数集是完备的，即再也没有一个函数x(t)存在，使)(),(),(21tgtgtgn在时间区间(t1,t2)内则该函数空间的任一函数f(t)可以用以下线性组合来精确地描述:nrrrnntgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(21ttt210)()(ttrdttxtgnr,3,2,1其中：rttrttrttrrKdttgtfdttgdttgtfC212121)()()()()(2nr,3,2,13.2周期信号的傅里叶级数三角函数型的傅里叶级数指数型傅里叶级数微分冲激法求解傅氏系数（不讲）一、三角函数型的傅里叶级数1、正弦余弦形式的傅氏级数在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即：任意周期信号f(t)，如果满足狄利赫利条件，即：注：一般周期信号都满足这些条件()00tTtftdtf(t)可展开成完备的正交三角函数集线性组合的无穷级数：0000001,cost,cos2tcosntsint,sin2tsinnt0000001,cost,cos2tcosntsint,sin2tsinnt其中：00tTn0t2aftntdtT().cos.00tTn0t2bftntdtT().sin.余弦分量系数，是n的偶函数正弦分量系数，是n的奇函数T20a0,an,bn称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n=1谐波分量n1周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数2、余弦形式的傅氏级数其中，为第n次谐波的振幅)arctan(nnnab为第n次谐波的初相角三角函数变换公式001()cos()2nnnAftAntA0=a022nnnbaA0001()(cossin)2nnnaftantbnt如图所示矩形脉冲信号，试求其两种形式的傅氏级数。……0AT2)(tf二、指数型傅里叶级数在时间区间(t0,t0+T)内，基波角频率的正交完备虚指数函数集,,,,,,,,000000jtj2tjntjtj2tjnt1eeeeeeT20对于周期为T的周期信号f(t)，在该时间区间内有定义时，可以由上述虚指数函数的线性组合来表示，即：0000011()jtjntjtjntnnftFFeFeFeFe其中：（1）定义傅立叶级数反变换IFST傅立叶级数正变换FST001()TjntnFftedtT00002211()()TTtjntjntTtftedtftedtTTnjnnFFennjjnnnFFeFenn奇函数nnFF偶函数说明：nF是傅氏复系数；*nnFF总是成对出现负频率的出现只是数学形式，实际并不存在001()TjntnFftedtT0002cos()jntjntnnnnFeFeFnt(2)与三角形式的傅氏级数的关系2||2222*000nnnnnnnnnAFjbaFFjbaFAaF试求上题的指数形式的复氏级数解：法10012sinsin()2222nnnajbnnAAFnn法20221()TjntTnFftedtT22sin2sin000nnTAnnA)2(0nSaTAtjnnenSaTAtf0)2()(03.3连续周期信号的频谱和功率谱一、周期信号的频谱(1)频谱：信号各频率成份的振幅和相位随频率变化的规律，叫做频谱。时域波形0n)(0nAn00843445470030507频谱波形4434547()coscoscoscos...8385878fttttt4434547()coscoscoscos...8385878fttttt幅度频谱0nnA008434454700305074434547coscos()coscos()...8385878tttt0nn00030507相位频谱08（2）频谱图：频谱的图示；（3）幅度频谱：周期信号各频率成份的振幅|Fn|（或An)随频率n0分布的规律的示意图;（3）相位频谱：周期信号各频率成份的相位n或n随频率n0分布的规律的示意图。1、三角频谱（单边频谱）余弦形式的傅氏级数其中：第n次谐波的振幅arctan()nnnba第n次谐波的初相角22nnnbaA三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。三角傅氏级数总有,谱线只出现在n0～An或者n0～n平面的右半平面，故称作单边频谱。0n001()cos()2nnnAftAnt解：由前面例可知该信号仅含a0和an项2sin20nnAan0nb求下列矩形脉冲序列信号的频谱，并绘频谱图。000011()cos()cos()22nnnaAftantAntn=n=0022|||sin||()|22nnnnAAAaSanT02T0n024n0单边相位频谱00n00AA2TnA24单边幅度频谱02AaT单边频谱的特点离散性：谱线是不连续的。谐波性：谱线只出现在基波频率0和它的整数倍谐波频率n0上。收敛性：振幅频谱An的高度随着谐波次数的增大逐渐衰减，即nnlimA=0→∞（2）指数频谱（双边频谱）ntjnneFtf0)(dtetfTFtjnTTn022)(1,3,2,1,0n*nnFFnn奇函数22212nnnnnbaAFF偶函数指数形式的傅氏级数指数频谱：傅氏复系数随n0变化的规律nFnnFFnnjjnnFeFe00022AaF振幅频谱对称于纵轴；相位频谱对称于原点；除F0=A0/2外，的谱线长度是的谱线长度的一半。由于n0的取值范围是全频域，因此无论是振幅频谱还是相位频谱都对称地分布在纵轴的两边故称为双边频谱。nFnθnFnA(-∞,∞)总结：求上例周期矩形脉冲信号的指数频谱，并绘频谱图。解：00nnωτnωτ12AτAτFSa()=Sa()2T2T20nnωτAτF=Sa()T2nn0nF0n00F002|()|2nnAASaT00AτF==0T0n40n4双边幅度频谱00n0ATnF2400n00AA2TnA24单边幅度频谱02AaT0n024n0单边相位频谱0n024n0双边相位频谱双边频谱的特点离散性、谐波性、收敛性有效频带宽度B=△＝2π/τ脉宽、周期T对频谱的影响:2TAF0Tk0，内的谱线间隔数:谱线数:1km各谱线高度不变内谱线增多T不变T各谱线高度不变内谱线增多不变T无穷大二、周期信号的平均功率和功率谱1、周期信号的平均功率100)cos(2)(nnntnAAtf21002)cos(2)()(nnntnAAtftp瞬时功率：平均功率：结论：周期信号总的平均功率为各次谐波分量平均功率的和。20000111()cos()2TTnnnAPptdtAntdtTT22001122nnnnAAPP2、Parseval定理周期信号的平均功率可以在频域中由傅氏复系数Fn确定。020011()()TTjntnnPftdtftFedtTT00*0011()()TTjntjntnnnnFftedtFftedtTT2*nnnnnFFF22220011()22TnnnnAAPftdtFT＝周期信号的帕塞瓦尔定理222222nnnAAF3、周期信号的功率谱Pn~n0（或~n0）的关系双边功率频谱单边功率频谱周期信号的功率谱的用途可以直观的看出频率中各平均功率分量随频率的分布情况：可以确定有效频带宽度（Bω）内谐波分量的平均功率占整个周期信号P的平均功率之比；例题：3－63.4非周期信号的频谱—傅里叶变换一、从傅里叶级数到傅里叶变换fT1(t)tT1-T10n02—Fn.0F00fT2(t)tT2-T202—n0Fn.F00f(t)tT∞-∞-T0Fn.n00F000d当T∞时周期信号演绎为非周期信号，即)()(limtftfTT信号的频谱发生如下变化：0变为微元分量d,即，无限地趋于零，离散性不再存在，频谱由线谱变成面谱。0Tdlimn0变为连续的角频率,即0TnlimFn趋于零,即频谱图消失。非周期信号的频谱图无法按Fn绘出。为了用图形描述非周期信号的频谱，引出频谱密度函数的概念。1、频谱密度函数（单位频带上Fn的分布情况）定义：式中：0221()TjntTnTFftedtTT∞时周期信号演绎为非周期信号n0变为连续的角频率0limlim()nnfTFTFFjf0221lim()TjntTTTTftedtT()jtftedt反之：0jnωtTnTTn=-f(t)=f(t)=Felimlim∞→∞→∞∞故：0jnωtTn=-1=F(jω)eΔω2πlim∞→∞∞jωt-1=F(jω)ed