妙用“设而不求”法巧解五则应用题

1妙用“设而不求”法巧解五则应用题对于某些较为复杂的应用题，倘若仅直接设元，很难翻译出数量关系式，此时可以通过引进辅助元，并依据题意翻译出含辅助元的数量关系式，建立方程（组）或不等式（组）等等；而这时的辅助元只起着桥梁作用，往往在求解过程可以整体求出或者在写出结果时可被消去，像这样的求解方法叫做设而不求法。怎样应用设而不求法解应用题呢？下面本文结合五则不同类型的应用题向同学们详细介绍：第一则：追及问题例1一客船逆水行使，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品是几分钟后发现的？解：设x分钟后发现所丢物品，船静水速为1V,水速为2V,依题意得，)(5)()5(21212VVVVxVx展开化简得115VxV又∵01V∴5x答：乘客5分钟后发现所丢物品。第二则：工程问题例2江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的数量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米,又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米（0c），依题意得：cbacba1641640240解得cbca323160如果要在10分钟内抽完水，至少需要的抽水机台数为61032031601010ccccba（台）答：至少需要6台抽水机。第三则：面积问题HFADCEBG例3如上图所示，四边形ABGF和四边形BCDE都是正方形，已知28cmSBCH，求EFHS.2解：设正方形ABGF和正方形BCDE的边长分别是m和n，依题意得：mnmAFACSACF)(2121，)m(m21FGBE)(AF21ABEFnS梯形∴ABEFACFSS梯形又∵BCHABHFACFSSS梯形,HABHFFSSSEFABE梯形梯形∴28cmSSBCHEFH第四则：浓度问题例4有盐水若干千克，第一次加入固定水后，盐水浓度为3%，再加入同样多的水，盐水浓度为2%，若再加入同样多的水，则盐水浓度为多少？解：设原有盐水m千克，每次加n千克水，第三次加水后，盐水浓度为x%，依题意得：00002)2(3)(nmnm①0000)3(2)2(xnmnm②由①×100整理得nmnm4233，则有nm③把③代入②得nxn46解得5.1x答：第三次加水后，盐水浓度为5.1%。第五则：买卖问题例5张华买了3千克牛肉，2千克草鱼，2千克虾花去80元；李平买了5千克牛肉，2千克草鱼，3千克虾花去115元。当牛肉、鱼和虾价格不变时，王欢买1千克牛肉，2千克草鱼，1千克虾花去多少钱？解：设牛肉、草鱼和虾每千克的价格分别是x元、y元、z元，依题意得：80223zyx①115325zyx②由①×2－②得452zyx答：王欢买1千克牛肉，2千克草鱼，1千克虾花去45元。综上可见，虽然“设而不求”法引进多个辅助元，从表面上看好像给解题带来一定的繁琐，但只要我们仔细审题，挖掘出题意中含有辅助元的所有数量关系式，建立有关方程（组），再结合整体思想求解，即可把问题化繁为简，化难为易。