【数学】高中知识点扫描：十-导数

知识改变命运，学习成就未来联系方式QQ:1365602590邮箱：[e-mail]第1页共3页十、导数：一、导数的概念：（1）函数)(xfy在点0x处可导：函数)(xfy在0x到xx0之间的平均变化率，即xxfxxfxy)()(00；如果当0x时，xy有极限，则称函数)(xfy在点0x处可导。（2）函数)(xfy在开区间),(ba内可导：如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点处都可导，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导；（3）函数)(xfy在点0x的导数：如果函数)(xfy在点0x处可导，那么极限xyz0lim叫做函数)(xfy在点0x的导数（或变化率），记作：)('0xf或0|'xxy；即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)('00000（4）函数)(xfy在开区间),(ba内的导函数(导数)：如果函数)(xfy在开区间),(ba内可导，那么对于开区间),(ba的每一个确定的值0x都对应着一个确定的导数)('0xf，这样在开区间),(ba内构成一个新的函数，我们把这—新函数叫做函数)(xfy在开区间),(ba内的导函数（简称导数），记)('xf或'y；即：xxfxxfxyyxfxx)()(limlim')('00（5）导数的几何意义：函数)(xfy在点0x处的导数)('0xf，就是曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线的斜率k，即)('tan0xfk；（6）导数在物理中的运用：函数)(tss在点0t处的导数)('0ts，就是当物体的运动方程为)(tss时，物体运动在时刻0t的瞬时速度v，即)('0tsv；物体运动在时刻0t的加速度)(''0tsa；知识改变命运，学习成就未来联系方式QQ:1365602590邮箱：[e-mail]第2页共3页二、几种常见函数的导数：0'C（C为常数）；1)'(nnnxx三、函数的和、差、积、商的导数：（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即'')'(vuvu容易推广到有限个函数的情形：''')'(wvuwvu（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：'')'(uvvuuv容易推出：')'(CuCu（C为常数）：常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数；四、导数的运用：（1）函数的单调性：①设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)('xf，则)(xf为增函数；如果0)('xf，则)(xf为减函数。②设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)(xf在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内0)('xf(或0)('xf)。求可导函数)(xf单调区间的步骤：①求)('xf；②解不等式0)('xf(或0)('xf)；③确认并指出递增区间(或递减区间)；证明可导函数)(xf在),(ba内的单调性的步骤：①求)('xf；②确认)('xf在),(ba内的符号；③作出结论；（2）函数的极大值与极小值：函数极值的定义：设函数)(xf在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有)()(0xfxf(或)()(0xfxf)，就说)(0xf是函数)(xf的一个极大(小)值；求可导函数的极值的步骤：①求)('xf；②求方程0)('xf的全部实根；③检查)('xf在方程0)('xf的根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(xf在知识改变命运，学习成就未来联系方式QQ:1365602590邮箱：[e-mail]第3页共3页这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(xf在这个根处取得极小值。（3）函数的最大值与最小值：求)(xf在],[ba上的最大值和最小值的步骤：①求)(xf在),(ba内的极值；②将)(xf的各极值与)(af，)(bf比较，确定)(xf的最大值与最小值；