泰勒公式及方向导数梯度习题

泰勒公式及方向导数、梯度习题1.将下列函数在指定点展成泰勒公式（1）xyzzyxzyxf3),,(333，在点（1,1,1）；（2）)1ln(),(yxyxf，在点（0,0）。2.设1|||,|0yx，试给出yx11arctan的二次近似多项式。3.书上习题835.4.求函数xyzzxyu32在点（1,1,2）处沿方向l（其方向角分别为60°,45°,60°）的方向导数。5.设函数222222byaxczu，求它在点（a,b,c）处的梯度。1.将下列函数在指定点展成泰勒公式（1）xyzzyxzyxf3),,(333，在点（1,1,1）；0)1,1,1(f，0|)33(|)1,1,1(2)1,1,1(yzxfx，0|)33(|)1,1,1(2)1,1,1(xzyxfy，0|)33(|)1,1,1(2)1,1,1(xyzfz，6|6|)1,1,1()1,1,1(xfxx，6|6|)1,1,1()1,1,1(yfyy6|6|)1,1,1()1,1,1(zfzz3|)3(|)1,1,1()1,1,1(zfxy3|)3(|)1,1,1()1,1,1(yfxz3|)3(|)1,1,1()1,1,1(xfyz6|)1,1,1(33xf，6|)1,1,1(33yf，6|)1,1,1(33zf，3|)1,1,1(3zyxf2323yxfyxf2323zxfzxf02323zyfzyf∴222)1(3)1(3)1(3),,(zyxzyxf)1)(1(3)1)(1(3)1)(1(3zyzxyx)1)(1)(1(3)1()1()1(333zyxzyx（2）)1ln(),(yxyxf，在点（0,0）。0)0,0(f，1|11|)0,0()0,0(yxfx，1|11|)0,0()0,0(yxfy1|)1(1|)0,0(2)0,0(yxfxx1|)1(1|)0,0(2)0,0(yxfyy1|)1(1|)0,0(2)0,0(yxfxy)0,0(1)0,0()(|)1()!1()1(|jijijiyxyxjifji)!1()1(1jiji∴)1ln(),(yxyxf322)(31)2(21yxyxyxyx11)1)(1()()1()()1(nnnnnyxnyxyxn.2.设1|||,|0yx，试给出yx11arctan的二次近似多项式。4)0,0(f，21|)1()1(1|)0,0(22)0,0(xyyfx，21|)1()1(1|)0,0(22)0,0(xyxfy21|))1()1(()1)(1)(2(|)0,0(222)0,0(yxxyfxx21|))1()1(()1)(1(2|)0,0(222)0,0(yxxyfyy0|])1()1[()1()1(|)0,0(22222)0,0(yxxyfxy∴)2121(!21)(21411arctan22yxyxyx)(41)(21422xyyx.3.书上习题835.证明：若函数),(yxf在点（0,0）邻域内存在一阶与二阶偏导数，且这些偏导数在（0,0）连续，则21210)0,0(),(2),2(lim)0,0(hfehfehffhhhxx。（应用二元函数的泰勒公式，整理之后取极限）运用麦克劳林公式将函数),2(21hehf，),(1hehf在点（0,0）展开：)10(,2),2(),2(214),2(21)0,0(2)0,0()0,0(),2(121211112111221112121hhxyhhyyhxxhyxhheehfeehfhehfefhffehf)10(,),(),(21),(21)0,0()0,0()0,0(),(211222122212211hhxyhhyyhxxhyxhheehfeehfhehfefhffehf∴21210)0,0(),(2),2(lim)0,0(hfehfehffhhhxx),2(22)0,0([lim211121210hxxhhyhehfheefheehfehfhhxyhxx212111122),2(2),(22121111122),2(21),(2heehfheehfhhyyhhxy22122),(heehfhhyy)0,0()0,0()0,0(2xxxxxxfff。4.求函数xyzzxyu32在点（1,1,2）处沿方向l（其方向角分别为60°,45°,60°）的方向导数。1)2,1,1(xf，0)2,1,1(yf，11)2,1,1(zf，53cos114cos03cos1|)2,1,1(lu。5.设函数222222byaxczu，求它在点（a,b,c）处的梯度。22axxu，22byyu，22czzu，}2,2,2{|),,(cbagraducba。