高考解析几何中的范围问题

第1页解析几何中的范围问题在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。一、“题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1.（1）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（2）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.解：（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0∵点M到直线AP的距离为1∴①∵∴，解得或∴所求m的取值范围为.（2）根据已知条件设双曲线方程为当时，点M的坐标为（）.∵A(1,0)，，∵点M到直线AP的距离为1，∴△APQ的内切圆半径r＝1，∴∠PAM＝45°，第2页（不妨设点P在第一象限）∴直线PQ的方程为，直线AP的方程为y＝x－1因此解得点P的坐标为（）将点P坐标代入双曲线方程得∴所求双曲线方程为即.点评：这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用；这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.例2、设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点P使得直线垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点的准线，直线与L相交于点Q，若，求直线的方程.分析：对于（1），要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有，便是特设条件中隐蔽的不等关系.对于（2），欲求直线的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.解：（1）由题设知设点P坐标为，则有化简得①将①与联立，解得∵m0，且∴m≥1即所求m的取值范围为.（2）右准线L的方程为设点第3页∴②（ⅰ）将代入②得③又由题设知∴由③得，无解.（ⅱ）将代入②得④∴由题设得由此解得m＝2从而有于是得到直线的方程为点评：对于（1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式对于（2），以求解点P坐标为方向，对已知条件进行“数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.二、“圆锥曲线的有关范围”之运用我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。例、以为焦点的椭圆与x轴交于A，B两点（1）过作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围；（2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.解：（1）基于椭圆的对称性，不妨设定为右焦点，M在第一象限，则易得，设A(－a,0)，B(a,0)，则∠AMB为直线AM到BM的角，又第4页∴利用公式得①此时注意到椭圆离心率的范围：0e1，∴②∴由①②得由此解得（2）设椭圆上存在点P使∠APB＝120°基于椭圆的对称性，不妨设点P（x，y）在第一象限则有x0，y0∴根据公式得整理得①又这里②∴②代入①得③此时注意到点P在椭圆上，故得④∴由③④得⑤由⑤得⑥于是可知，当时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为；当时，点P不存在.三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用第5页在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式△0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。例1、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。解：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则由又b＝1，∴∴椭圆方程为①设直线l的方程为y＝kx＋m②将②代入①得由题意③且④∴∴点P坐标为又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有⑤第6页于是将⑤代入③得因此可知，所求k的取值范围为.例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过点且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点M，又（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的长轴长的取值范围.解：（1）由题意设椭圆C的方程为.∵直线l的方向向量为∴亦为直线l的方向向量∴直线l的斜率因此，直线l的方程为即（2）设将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得由题设①且②又这里M(1,0)∴由得第7页∴③进而由③得④∴由④得⑤∴②代入⑤得⑥⑦注意到由⑥得故由⑦得因而得1a3⑧∴由⑦解出代入①并利用⑧得⑨另一方面，再注意到，再由⑦得.因此有第8页即所求椭圆C的长轴的取值范围为.点评：欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围，需要利用或挖掘题目中的不等关系.在这里，我们由导出关于a、b的等式⑦之后，一方面利用了本题中人们熟知的△0确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系：ab0，双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键.四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：1、2、3、4、例、已知椭圆的焦点为，过点且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，，又椭圆上不同两点A、C满足条件：成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）设弦AC的垂直平分线方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.解：（1）由题设得2a＝10，c＝4∴a＝5，b＝3，c＝4∴椭圆方程为（2）（设而不解）设则由题意得第9页①故有点∵A、C在椭圆上∴两式相减得②∴由①及所设得③∴弦AC的垂直平分线方程为∴由题意得④注意到当x＝4时椭圆上点的纵坐标为，又点在椭圆内部故得⑤于是由④、⑤得∴所求的取值范围为点评：此题解法充分体现了“以我为主”的思想。以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略……，本解法以运用自设参数为主而将所给的y＝kx＋m放在十分次要的位置，从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望。想一想：这里为什么可以不用直线方程y＝kx＋m与椭圆方程联立。五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用“相等”与“不等”是辩证的统一，根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系，椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等”关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题，适时认知并发掘出本题的不等关系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：1、2、第10页例、已知双曲线的左、右焦点分别为、，若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与成等比数列，求离心率e的取值范围.分析：寻求e的范围的一般途径为（1）认知或发掘出本题的不等关系；（2）将（1）中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式；（3）将（2）中的不等式演变为关于e的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围.其中，有关双曲线上点P处的两条焦点半径的问题，定义中明朗的等量关系：是认知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系：则是寻求参量范围的重要依据。解：（1）确立不等关系注意到这里①（2）不等关系演变之一设左支上的点P到左准线的距离为d，则由题意得（变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系）∴②又点P在双曲线左支上∴（点P在左支这一条件的应用）③∴由②③解得④∴将④代入①得⑤第11页（3）不等关系演变之二：由⑤得故解得于是可知，所求离心率e的范围为直线与圆锥曲线问题的解题策略众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。第12页一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。（1）向弦中点问题转化例1.已知双曲线=1（a0,b0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。略解：（1）所求双曲线方程为（过程略）（2）由消去y得：由题意知，当时，①设中点则C、D均在以A为圆为的同一圆上又∴②于是由②得③由②代入①得，解得m0或m4④第13页于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长问题转化例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l的方程。分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。略解：椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。（1）点P的轨迹C2的方程为（过程略）（2）设直线l的方程为①①代入椭圆C1的方程得，故有故弦AD中点O1坐标为②第14页①代入椭圆C2的方程得，又有故弦BC中点O2坐标为③∴由②、③得④注意到⑤于是将②、③、④代入⑤并化简得：由此解得。因此，所求直线l的方程为2．化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。（1）借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线于P1、P2两点，在线段P1、P2上取一点Q，使、、第15页的倒数依次成等差数列