无限脉冲响应数字滤波器的设计

6.1数字滤波器的基本概念1.数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：0110()1()()MrrrNkkkNnnbzHzazHzhnz理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻π2π2π2π2πππππππππ2π2π2π22我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：()()()jjjHeHee如图所示。滤波器的主要性能指标（以低通滤波器为例）如下：（1）频带：包括通带、过渡带、阻带。（2）误差：通带和阻带误差过渡带通带阻带0)(jeHsp11p1ps3.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。6.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。1.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：221()1()aNcHj(6.2.6)2、切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器有两种类型：切比雪夫Ⅰ型滤波器的特点是在通带内有等波纹变化，阻带内单调下降。切比雪夫Ⅱ滤波器的特点是在通带内单调下降，阻带内有等波纹变化。波纹系数为0.5dB的切比雪夫Ⅰ低通滤波器的幅频响应平方函数阻带衰减10dB的切比雪夫Ⅱ低通滤波器的幅频响应平方函数切比雪夫Ⅰ滤波器与巴特沃兹滤波器过渡带的比较在具有相同阶数的情况下，切比雪夫滤波器与巴特沃兹滤波器相比，具有较窄的过渡带3、椭圆滤波器椭圆滤波器的特点是幅度频率响应在通带和阻带内均为等波纹的。且与上述两种滤波器相比，过渡带的下降斜度更大。一般来说，对于指定的滤波器指标（阶数与波纹），椭圆滤波器能以最低的阶数实现。椭圆滤波器的幅频响应平方函数如下：Jacobian椭圆函数)(11)(222cNUjH通带波纹0.3dB、阻带波纹10dB的椭圆低通滤波器幅频响应平方函数6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)()[()]aaHsLTht设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：1()NiaiiAHsss(6.3.1)式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：1()()iNsntaiihtAeut(6.3.2)一、由Ha(s)求相应的H(z)式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：1()()()iNsnTaiihnhnTAeunT(6.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：11()1iNisTiAHzez(6.3.4)^()()()()sTsTsnTnazezennHshnehnzHz二、S平面和Z平面之间的映射上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：sTze(6.3.6)(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设jsjzre按照(6.3.6)式，得到:jTjTreee因此得到:TreT(6.3.10)我们由三方面说明这个关系σ=0,r=1σ0,r1σ0,r1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成2(),jMTsTTjTTTeeeeeM为任意整数z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图6.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象例若模拟滤波器的系统函数为试用脉冲响应不变法求相应的数字滤波器的系统函数。（设采样周期为）652)(2ssssH将系统函数用部分分式法展开)215.01(381254)(2sssssH模拟滤波器的极点S1=-0.5,S2=-2因此，相应数字滤波器的系统函数为)1111(38)(1215.0zezezHsTsT6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器正切变换实现频率压缩：121tan()2TT(6.4.1)式中T仍是采样间隔，当Ω1从π/T经过0变化到π/T时，Ω则由∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有1112121()21sTsTesthTTTe(6.4.2)再通过转换到z平面上，得到：1sTze1121122zsTzsTzsT(6.4.3)(6.4.4)下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。图6.4.1双线性变换法的映射关系令s=jΩ,z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有21121tan2jjejTeT(6.4.5)图6.4.2双线性变换法的频率变换关系图6.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射设112012201211120121212()2()(),()1kkakkazszkkkkAAsAsAsHsBBsBsBsHzHsCTaazazazHzbzbzbz表6.4.1系数关系表例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为1(),aHssRC利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为11()1THzez利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为111121212112(1)()()12,22azsTzzHzHsazTTTTH1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5例6.4.1图——H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z)下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。21tan()2TT如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为图6.4.6例6.4.1图——数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例6.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN取N=6。为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为234561()13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),62652433425665432()3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：1112121120.28710.44662.14281.1454()10.12970.694911.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzHzzzzzzzz图6.4.7例6.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/,12tan0.151.019/,15ppPpssTTradsdBradsdB③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN取N=6。为求Ωc,将Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：2220.2024()(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss11161212121120.0007378(1)()()(11.2680.7051)(11.0100.358)110.90440.2155azszzHzHszzzzzz图6.4.8例6.4.2图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为21tan2T(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。例6.5.1设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=