屈婉玲高教版离散数学部分答案2

第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.解：IA={2，2,3,3,4,4}EA={2,2,2,3,2,4,3,4,4,4,3,2,3,3,4,2,4,3}LA={2,2,2,3,2,4,3,3,3,4,4,4}DA={2,4}13.设A={1,2,2,4,3,3}B={1,3,2,4,4,2}求AB,AB,domA,domB,dom(AB),ranA,ranB,ran(AB),fld(A-B).解：AB={1,2,2,4,3,3,1,3,4,2}AB={2,4}domA={1,2,3}domB={1,2,4}dom(A∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={2,3,4}ran(AB)={4}A-B={1,2,3,3}，fld(A-B)={1,2,3}14.设R={0,10,2,0,3,1,2,1,3,2,3}求RR,R-1,R{0,1,},R[{1,2}]解：RR={0,2,0,3,1,3}R-1,={1,0,2,0,3,0,2,1,3,1,3,2}R{0,1}={0,1,0,2,0,3,1,2,1,3}R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．设A={a,b,c,d}，1R，2R为A上的关系，其中1R=,,,,,aaabbd2,,,,,,,Radbcbdcb求23122112,,,RRRRRR。解:R1R2={a,d,a,c,a,d}R2R1={c,d}R12=R1R1={a,a,a,b,a,d}R22=R2R2={b,b,c,c,c,d}R23=R2R22={b,c,c,b,b,d}36．设A={1，2，3，4}，在AA上定义二元关系R，u,v,x,yAA，〈u,vRx,yu+y=x+v.(1)证明R是AA上的等价关系.(2)确定由R引起的对AA的划分.（1）证明：∵u,vRx,yu+y=x-y∴u,vRx,yu-v=x-yu,vAA∵u-v=u-v∴u,vRu,v∴R是自反的任意的u,v,x,y∈A×A如果u,vRx,y，那么u-v=x-y∴x-y=u-v∴x,yRu,v∴R是对称的任意的u,v,x,y,a,b∈A×A若u,vRx,y,x,yRa,b则u-v=x-y,x-y=a-b∴u-v=a-b∴u,vRa,b∴R是传递的∴R是A×A上的等价关系(2)∏={{1,1,2,2,3,3,4,4},{2,1,3,2,4,3},{3,1,4,2},{4,1},{1,2,2,3,3,4},{1,3,2,4},{1,4}}41.设A={1，2，3，4}，R为AA上的二元关系,〈a，b〉，〈c，d〉AA,〈a，b〉R〈c，d〉a+b=c+d(1)证明R为等价关系.(2)求R导出的划分.(1)证明：a，b〉AAa+b=a+b∴a,bRa,b∴R是自反的任意的a,b,c,d∈A×A设a,bRc,d，则a+b=c+d∴c+d=a+b∴c,dRa,b∴R是对称的任意的a,b,c,d,x,y∈A×A若a,bRc,d,c,dRx,y则a+b=c+d,c+d=x+y∴a+b=x+y∴a,bRx,y∴R是传递的∴R是A×A上的等价关系(2)∏={{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,4,1,2,3,3,2},{2,4,4,2,3,3},{3,4,4,3},{4,4}}43.对于下列集合与整除关系画出哈斯图:(1){1,2,3,4,6,8,12,24}(2){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}解:1234681224123456789101112(1)(2)45.下图是两个偏序集A,R的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式.abcdefgabcdefg(a)(b)解:(a)A={a,b,c,d,e,f,g}R={a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,a,g,b,d,b,e,c,f,c,g}AI(b)A={a,b,c,d,e,f,g}R={a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,d,f,e,f}AI46.分别画出下列各偏序集A,R的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元.(1)A={a,b,c,d,e}R={a,d,a,c,a,b,a,e,b,e,c,e,d,e}IA.(2)A={a,b,c,d,e},R={c,d}IA.解:abcdeabcde(1)(2)项目(1)(2)极大元:ea,b,d,e极小元:aa,b,c,e最大元:e无最小元:a无第八章部分课后习题参考答案1．设f:NN,且f(x)=12xxx，若为奇数若为偶数，求f(0),f({0}),f(1),f({1}),f({0,2,4,6,…})，f({4,6,8}),f-1({3,5,7}).解：f(0)=0,f({0})={0},f(1)=1,f({1})={1},f({0,2,4,6,…})=N，f({4,6,8})={2,3,4},f-1({3,5,7})={6,10,14}.4.判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的?(1)f:NN,f(x)=x2+2不是满射，不是单射(2)f:NN,f(x)=(x)mod3,x除以3的余数不是满射，不是单射(3)f:NN,f(x)=10xx，若为奇数，若为偶数不是满射，不是单射(4)f:N{0,1},f(x)=01xx，若为奇数，若为偶数是满射，不是单射(5)f:N-{0}R,f(x)=lgx不是满射，是单射(6)f:RR,f(x)=x2-2x-15不是满射，不是单射5.设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={a,1,b,2,c,3,}判断以下命题的真假:(1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数;对(2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的;错(3)f是从X到Y的满射,但不是单射;错(4)f是从X到Y的双射.错第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z和普通的减法运算。封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合普通的除法运算。不封闭（3）全体nn实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为R1111111（6）n关于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（1n），零元是0；1n单位元是1（7）A={},,,21naaan运算定义如下：封闭不满足交换律，满足结合律，（8）S=关于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S=,S关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。见上题7．设*为Z上的二元运算Zyx,，X*Y=min(x，y),即x和y之中较小的数.(1)求4*6，7*3。4,3(2)*在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元1,所有元素无逆元8．QQSQ为有理数集，*为S上的二元运算，a,b,x,yS有a，b*x，y=ax，ay+b（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：x,y*a,b=xa，xb+ya，b*x，y可结合：(a,b*x,y)*c,d=ax，ay+b*c,d=axc，axd+(ay+b)a,b*(x,y*c,d)=a,b*xc,xd+y=axc，a(xd+y)+b(a,b*x,y)*c,d=a,b*(x,y*c,d)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。设a,b是单位元，x,yS，a,b*x,y=x,y*a,b=x,y则ax,ay+b=xa,xb+y=x,y，解的a,b=1,0，即为单位。设a,b是零元，x,yS，a,b*x,y=x,y*a,b=a,b则ax,ay+b=xa,xb+y=a,b，无解。即无零元。x,yS，设a,b是它的逆元a,b*x,y=x,y*a,b=1,0ax,ay+b=xa,xb+y=1,0a=1/x,b=-y/x所以当x0时，xyxyx,1,110．令S={a，b}，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。(a)(b)(c)(d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a)交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元bbaa11,(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律ababbabaabba)(,)(bbabba)()(没有单位元,没有零元(d)不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16．设V=〈N，+，〉，其中+，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？（1）S1=是（2）S2=不是加法不封闭（3）S3={-1，0，1}不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即x,y∈S,xy=(xy)mod4问〈S，〉是否构成群？为什么？解：(1)x,y∈S,xy=(xy)mod4S,是S上的代数运算。(2)x,y,z∈S,设xy=4k+r30r(xy)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod4同理x(yz)=(xyz)mod4所以，(xy)z=x(yz)，结合律成立。(3)x∈S,(x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。(4),33,11110和2没有逆元所以，〈S，〉不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下：x,y∈Z,xoy=x+y-2问Z关于o运算能否构成群？为什么？解：(1)x,y∈Z,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代数运算。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz=xo(yoz)，结合律成立。(3)设e是单位元，x∈Z,xoe=eox=x,即x+e-