第6章--无限脉冲响应数字滤波器的设计

第六章IIR数字滤波器的设计引言最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统全通系统用模拟滤波器设计IIR数字滤波器用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器引言数字滤波器的设计过程一个数字滤波器的设计过程，大致可归纳为以下几个步骤：(1)按照实际需要确定滤波器的性能指标。(2)用一个因果稳定的系统函数去逼近这个性能指标，这种系统函数可以分为两类，即IIR系统函数与FIR系统函数。(3)用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。这里包括选择运算结构，如级联型、并联型、直接型、频率采样型等，还包括合适的字长和有效数字处理的方法等。(4)实际的技术实现，包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或采用专用的或通用的数字信号处理器来实现。按处理信号的种类分为模拟滤波器(其输入输出皆为模拟量)数字滤波器(其输入输出皆为数字量)；按其应用不同分为有源滤波器和无源滤波器；按其通频带划分为（以2π为周期，低通频带2π整数倍附近，高通频带处于π的奇数倍附近）低通滤波器(只允许低频信号通过而抑制高频信号)高通滤波器(只允许高频信号通过而抑制低频信号)带通滤波器(只允许某一频带的信号通过)带阻滤波器(只抑制某一频带的信号)。按实现结构或单位脉冲响应分为IIR滤波器和FIR滤波器)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻π2π2π2π2πππππππππ2π2π2π2)(ejH0全通π2πππ2数字滤波器的技术要求通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：()()()jjjHeHee滤波器的性能要求一般以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通为例，频率响应有通带、过渡带、阻带三个范围。通带——滤波器中能使信号通过的频带；阻带——抑制噪声通过的频带；过渡带——从通带到阻带的过渡频率范围。在通带内：在阻带内：通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用δ1表示，阻带应达到的最小衰减用δ2表示，δ1和δ2分别定义为：cj11eH1st2jeH1jjj01120lgeH20lgeHeH20lgcc2jjj0220lgeH20lgeHeH20lgstst表征数字滤波器频响特性的三个参量1.幅度平方响应的极点既是共轭的，又是以单位圆镜像对称的，则为实现因果稳定系统，选在单位圆内的极点作为的极点，零点可以根据相位要求选择。当只需要逼近幅度响应而不考虑相位时用幅度平方设计方便2.相位响应3.群延时响应：相位对角频率的导数的负值。j2jj*jjj1e(e)(e)(e)(e)(e)()()zHHHHHHzHzωωωωωω1()()HzHz1()()HzHz()Hzdedejj当要求滤波器为线性响应特性时，通带内群延时是常数数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器的逼近问题是按要求或最优化准则求滤波器系数ak,bk，使滤波器满足特性要求。在s平面的逼近得到模拟滤波器，在z平面的逼近得到数字滤波器。IIR滤波器设计方法有三类:1借助于模拟滤波器其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。这种方法可以利用模拟滤波器现成的设计公式图表，方便准确2计算机辅助设计法(最优化设计法)直接在时域或频域中设计。先确定一种最优化准则，求在最优准则下滤波器系统函数的系数ak,bk,这种方法得不到理想的闭合形式的函数表达式，需进行大量的迭代运算3直接在z平面设计。给出闭合形式的公式或是所希望的滤波器的响应作为依据，直接在z平面上通过对此选定零极点的位置，以逼近该响应。最大、最小相位系统10111111(1)()()1(1)()MMMkiikNMkiiNNNkkjjkjjczzcbzHzKKzazdzzdjjjarg(e)jj(-)j1j1(e)(e)e(e)e(e)MiHNMiNjjcHKHd当ω从0~2π变化时（Δω=2π），单位圆内的零点（或极点）引起的的变化量为2π，而单位圆外的零、极点则没有影响。jjj11(e)argargearge()MNijijHcdNMKj(e)argHK零点：Mi+Mo=M极点：Ni+No=N因果稳定系统：最小相位延时系统——零、极点全部在单位圆内最大相位延时系统——极点全部在单位圆内，零点全部在单位圆外。对因果稳定系统，有j(e)arg222()2iiOHMNNMMK最小相位延时系统（常简称为最小相位系统）有许多重要性质，它在通信系统中有很重要的地位。最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统最小相位系统的重要性质1在相同的所有系统中，最小相位系统具有最小的相位滞后，即它有负的相位，相位绝对值最小；2按照帕塞瓦定理，相同的各系统的总能量相同，但最小相位系统的能量集中在n=0附近，而一般系统的能量则集中在n0处。也就是说，若、为n点有限长序列（n=0,1,2,…,N-1），则有3对相同的各序列，有；4在相同的系统中，只有唯一一个最小相位系统；5利用级联全通函数的方法，可将最小相位系统的零点反射到单位圆外，而构成幅度响应相同的非最小相位系统；6最小相位系统保证其逆系统存在。给定一个因果稳定系统，定义其逆系统为，当且仅当为最小相位系统时，才是因果稳定系统。()jHeω()jHeωmin()hn()hnmin()hn()hn22min00()()NNnnhnhn22min00()()(1)mmnnhnhnmN()jHeωmin(0)(0)hh()jHeω()Hz()1/()INVHzHz()Hz()INVHz全通系统全通系统是指系统频率响应的幅度在所有频率下均为1或某一常数的系统。系统函数的零极点是以共轭对形式出现的。1eHjwap应用：1任何一个因果稳定的系统都可以表示为全通系统和最小相位延时系统的级联2如果设计出的滤波器是非稳定的，则可以级联全通函数将它变成稳定的滤波器3可以作为相位均衡器一阶复系数全通滤波器：11()(01)1apzaHzaaz()1japHeω——不改变信号各频率分量的幅度，只影响相位（a为复数）全通滤波器零、极点的分布特点：零点——若有复数零点，必以共轭对形式出现；极点——若有复数极点，必以共轭对形式出现；零、极点之间——以单位圆镜像对称。全通滤波器的应用1.任何一个因果稳定的系统H(z)（非最小相位延时系统）都可以表示成全通系统和最小相位系统的级联，即min()()()apHzHzHz2.若设计出的滤波器是非稳定的，则可以用级联全通系统来将其变成一个稳定的滤波器，而幅度特性不变。用全通系统的零点抵消滤波器的单位圆外极点3.可以作为相位均衡器，将非线性相位系统变为线性相位。6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。S平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，即频率轴要对应。数字滤波器设计方法IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法映射成数字滤波器的系统函数H(z)。常用的映射方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)()[()]aaHsLTht设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：1()NiaiiAHsss6.5冲激响应不变法变换原理：使数字滤波器的h(n)模仿模拟滤波器的ha(t)即h(n)=ha(nT)（T为采样周期）12()sTazekHzHsjkTTπ式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：1()()()iNsnTaiihnhnTAeunT对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：11()1iNisTiAHzez式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行拉氏反变换得到ha(t)NitsiatueAthi11()NiaiiAHsss（因果稳定性不变、虚轴映射成单位圆）z=esT，s平面与z平面之间的映射关系12()sTazekHzHsjkTTπ混叠失真数字滤波器的频率响应是模拟滤波器的频率响应的周期延拓，只有模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时数字滤波器的频率响应才能够不产生混叠失真。但实际滤波器频率响应都不是严格限带的，所以这种方法得到的数字滤波器的频率响应都存在混叠失真。12()sTazekHzHsjkTTπ冲激响应不变法的频率混叠现象12()sTazekHzHsjkTTπ假设没有频率混叠现象，即满足按照并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：^()aHj()0,/aHjT1()(),jaHeHjTT11()()()1()(/),iaNisTijahnThnTTAHzezHeHjTN1kiiassAsHN1i1Tsize1TAzHi12()sTazekHzHsjkTTπ对上式进行修正，令：，则()()ahnThnT由于H(ejω)与T呈反比，当fs很高时，滤波器增益太大ha(t)是实数，Ha(s)的极点成共轭对存在。Ha(s)与H(z)的关系：N1kiiassAsHN1i1Tsize1TAzHiN1k*i*iassAsHN1i1Ts*ize1TAzH*i缺点：存在频谱混叠。优点：1.时域逼近良好；2.模拟角频率与数字频率呈线性关系，即ω=ΩT。只适合于限带的模拟滤波器，高通和带阻滤波器不适合采用冲激响应不变法。冲激响应不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，即时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间成线性关系ω=ΩT，因而一个线性良好的模拟滤波器可以映射成线性相位的数字滤波器，但因为有频率响应的混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，所以高统和带阻滤波器不宜采用冲激响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，对于带通和低通滤波器，需充分限带，如阻带衰减越大，则混叠效应越小。6.7双线性变换法冲激响应不变法中频谱混叠，是因为s→z是多值映射基本原理：把整个s平面压缩变换到一个中介s1平面的一个横带，再通过s平面与z平面的标准映射把s1平面的横带变换到整个z平面，这样使s平面与z平面一一对应，消除多值映射，即消除了频谱混叠现象TTT~2即模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。双线性变换法的映射关系（单值映射）（因果稳定性不变、虚轴映射成单位圆）s平面z平面σ0，右半平面，不稳定r1，单位圆外，不稳定σ=0，虚轴，临界r=1，单位圆上，临界σ0，左半平面，稳定r1，单位圆内，稳定s平面与z平面的映射关系为即当Ω1从π/T经过0变化到-π/T时，Ω则由∞经过0变化到