第六章--IIR滤波器的设计

2020/3/251数字信号处理DigitalSignalProcessing第六章IIR数字滤波器的设计TheDesignofIIRFilter福建农林大学金山学院信息与机电工程系([e-mail])2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计2主要内容理解数字滤波器的基本概念掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计36.1引言数字滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。优点：2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计41、滤波器的基本概念（1）滤波器的功能滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。a）时域说明b）频域说明2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计5（2）四种基本的滤波器四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计6（3）四种基本滤波器的数字表示低通高通带通带阻)(jeH)(jeH)(jeH)(jeHω2ππππ2ω2πππ2πω2πππ2πω2πππ2π2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计72、LP到其他滤波器的变换由LP实现的HP2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计8LP实现的BP2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计9LP实现的BRF2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计103、滤波器的性能指标带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤波器的带宽（-3dB带宽）2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计11通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计124、数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计三个步骤:(1)按要求确定滤波器的性能参数；(2)用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求；(3)用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计135、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：()()()jjjjHeHee为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况()jHe为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况()j2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计14：通带截止频率c：阻带截止频率st：通带容限1：阻带容限2st2()jHe阻带：cst过渡带：c11()1jHe通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计15通带最大衰减：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjHeHeHe阻带最小衰减：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjHeHeHe其中：0()1jHe当时，()2/20.707cjHe称为3dB通带截止频率13dBc2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计166、IIR数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器01()1MkkkNkkkbzHzaz用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：,kkab即为求滤波器的各系数计算机辅助设计法s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计176.2用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：s平面z平面模拟系统数字系统()()aHsHzH(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)，即s平面的左半平面Re[s]0映射到z平面的单位圆内|z|12020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计18设计方法：-冲激响应不变法-阶跃响应不变法-双线性变换法2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计196.3冲激响应不变法一、变换原理数字滤波器的单位冲激响应h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t))()(nThnhaT—抽样周期)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha)(txa)(tya)(tha2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计20设)()(sHthaa)()(zHnh则：masTezTjmsHTzH)2(1|)(sTez冲激响应不变法的映射关系2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计21从频率响应来看：kakajTkjHTkTjjHTeH)2(1)2(1)(数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为2/T只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即2,0)(saTjH才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真)(),(1)(jHTeHaj2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计22,sfTTTTccTT2ssfTT混迭实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在||s/2处衰减越快，失真越小当滤波器的设计指标以数字域频率c给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计23二、模拟滤波器的数字化1()NkakkAHsss111kNksTkAez()()()()()aaaHshthnThnHz11()[()]()kNstaakkhtLHsAeut1()()()kNsnTakkhnhnTAeunT()()nnHzhnz01kNnsTnknkAez110kNnsTkknAez2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计24系数相同：kA1()NkakkAHsss11()1kNksTkAHzez极点：s平面z平面kssksTze稳定性不变：s平面z平面Re[]0ks1ksTe2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计251()jaHeHjTT11()1kNksTkTAHzez当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正()()ahnThnT令：2()jakkHeHjT则：aHjT2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计26试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131()11TTTTHzezez3131421TTTTTTeezeezez1()NkakkAHsss11()1kNksTkTAHzez1120.318()10.41770.01831zHzzz设T=1s，则2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计271120.318()10.41770.01831zHzzz模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()10.41770.01831jjjjeHeee22()(3)4aHjj2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计28优点：缺点：保持线性关系：=T线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)时域逼近良好冲激响应不变法的优缺点2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计296.4双线性变换法冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真为了克服这一缺点，采用双线性变换法。使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计30一、变换原理及特点冲激响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。Z平面1j1Tjjee1单位圆T/T/Tsez1T1j2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计31Z平面1j1Tjjee1单位圆T/T/Tsez1T1j:[,]1:,TT12Ttg11sTzeTTjTjTjTjTjTjeeeeeeTjj11111111)2tan(222212020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计321111zzsssz11TjTjeeTjj1111)2tan(1TsTsees1111js11js1sTze为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数c12Tctg1111zsczcszcs2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计3312Tctg2cT2）某一特定频率严格相对应：cc122cccTctgctg2cccctg11）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置112Tc二、变换常数c的选择2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计34三、逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjctgjze1）s平面虚轴z平面单位圆cscjzcscj2）01z01z左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计35四、优缺点优点：2ctg00避免了频率响应的混迭现象s平面与z平面为单值变换002020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计36缺点：除了零频率附近，与之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变11/T11112tgc2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计37预畸变给定数字滤波器的截止频率1，则112ctg按1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到1为截止频率的数字滤波器2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计38五、模拟滤波器数字化方法1111111()()1aazsczzHzHsHcz可分解成级联的低阶子系统1111()()1,2,...,iiazsczHzHsim其中：12()()()()maaaaHsHsHsHs12()()()()mHzHzHzHz2020/3/25第6章IIR数字滤波器的设计39可分解成并联的低阶子系统12()()()()maaaaHsHsHsHs12()()()()mHzHzHzHz1111()()1,2,...,i