高中数学选修1-2反证法

反证法直接证明：(1)综合法——(2)分析法——由因导果执果索因已知条件结论……已知条件结论……pq条件结论古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦得没法吃。路边苦李小故事小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”您能对小华的判断说出理由吗？如果昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法。反证法发生在身边的例子:妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的?小芳全家没外出旅游.小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全家没外出旅游．证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°.引例已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°证明：假设的三个内角A，B，C都小于60°，ABC所以∠A60°，∠B60°，∠C60°∴∠A+∠B+∠C180°这与相矛盾.三角形内角和等于180°∴不能成立，所求证的结论成立.假设反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设归谬结论¬q¬ppq归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。反证法：反设——归谬——存真适宜使用反证法的情况（1）结论以否定形式出现（2）结论以“至多-------，”，“至少------”形式出现（3）唯一性、存在性问题（4）结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。常见否定用语是－－－不是有－－－没有等－－－不等成立－－不成立都是－－不都是，即至少有一个不是都有－－不都有，即至少有一个没有都不是－－部分或全部是，即至少有一个是唯一－－至少有两个至少有一个有（是）－－全部没有（不是）至少有一个不－－－－－全部都反馈练习1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角假设互补的两个角都大于90°.假设△ABC中,至少有两个钝角2、“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.(1)所以∠B+∠C+∠A180°.这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以∠B90°.(3)假设∠B≥90°.(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是()A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1)反馈练习C例1.用反证法证明：如果ab0，那么ab证：假设ab不成立，则a≤b若a=b，则a=b,与已知ab矛盾,若ab，则ab,与已知ab矛盾,故假设不成立，结论ab成立。例2.求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。总结提炼1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．①反设②归谬③结论2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?推理合情推理演绎推理（归纳、类比）（三段论）证明直接证明间接证明（分析法、综合法）（反证法）数学—公理化思想备选1、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个点为A、B、C、D。考虑点D在之内或之外两种情况。ABC(1)如果点D在之内，根据假设，ABCDABCBDCADBADC,,都为锐角三角形所以270BDCADBADC这与一个周角为360°矛盾。演练反馈1、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形(1)如果点D在之外，根据假设，ABCADBCBCDBADADCABC,,,都是锐角三角形，即360ADCBCDABCBAD这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.例1证明：假设弦AB、CD被P平分，连结AD、BD、BC、AC,DPOBAC因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ADBC是平行四边形所以CBDCADADBACB,因为ABCD为圆内接四边形所以180,180CBDCADADBACB因此90,90CADACB所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被P平分。用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.POBADC例1由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有所以，弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二OP⊥AB，OP⊥CD，2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。备选【探究2】已知a≠0,关于x的方程ax=b有解吗？【探究1】将9个球分别染成红色或白色无论怎样染色，至少有5个球一定是同色的。正确吗？反证法解唯一吗？【例1】给定实数设函数求证：经过函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴。10,aaa且)1,(11)(axRxaxxxf41)1(,)1(,)1(,)1,0(,,2不能同时大于求证：已知】【例accbbacba恒成立。使得在整个定义域内，，找不到正数对于函数】【例AxfAxxf|)(|,1)(3【方法总结】推出矛盾，可通过特殊值进行说明。•[例4]已知0a≤3，函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x0≥1，f(x0)≥1时，f(f(x0))＝x0，求证：f(x0)＝x0.•[分析]要求证明存在某个对象具有某种特殊性质，而我们又无法具体地指出这个对象来，如本例，此时应考虑用反证法来解决．•[证明]假设f(x0)≠x0，则必有f(x0)x0或f(x0)x0，•若f(x0)x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(f(x0))f(x0)，•又f(f(x0))＝x0，∴x0f(x0)，与假设矛盾，•若x0f(x0)≥1，则f(x0)f(f(x0))，•又f(f(x0))＝x0，∴f(x0)x0也与假设矛盾．•综上所述，当x0≥1，f(x0)≥1且f(f(x0))＝x0时有f(x0)＝x0.•已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.•[证明]假设p＋q＞2，那么p＞2－q，•∴p3＞(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.•将p3＋q3＝2代入得，6q2－12q＋6＜0，•即6(q－1)2＜0.•由此得出矛盾．∴p＋q≤2.思考题．求证：1，3，2不能为同一等差数列的三项．[证明]假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m，n为两个正整数，由上面两式消去d，得n＋2m＝3(n＋m)．因为n＋2m为有理数，而3(n＋m)为无理数，所以n＋2m≠3(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，即1，3，2不能为同一等差数列的三项．1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线与平面相交。【试一试】2、证明：1ba,03b4a2ba22则若3、已知方程2x=3，求证方程有且只有一根【作业】P54练习1、2A组3