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导体棒绕固定点转动切割磁感线问题研究一、基本知识。导体棒在磁场中转动切割磁感线时，由于各点切割的线速度不同，不能直接用E=BLVsinθ来计算，然导体棒绕定轴转动时依V=rω可知各点的线速度随半径按线性规律变化，因此通常用中点的线速度来替代，即2LV或2BAVVV二、例题讲解。例1：一根导体棒oa长度为L，电阻不计，绕o点在垂直于匀强磁场B的平面内以角速度ω做匀速圆周运动，求其产生的电动势。解法：利用法拉第电磁感应公式的导出公式E=Blv求解。由于杆上各点的线速度都不相同，并且各点的线速度大小正比于该点到o点的距离。o点速度为零，a点速度最大，为ωl，则整个杆的平均速度为2ωl，相当于棒中点瞬时速度的大小。产生的电动势由右手定则可以判断电动势的方向为o→a，a点的电势高于o点的电势，即a点相当于电源的正极。拓展1：存在供电电路例2：金属棒长为l，电阻为r，绕o点以角速度ω做匀速圆周运动，a点与金属圆环光滑接触，如图5所示，图中定值电阻的阻值为R，圆环电阻不计，求Uoa。解析：图中装置对应的等效电路如图6所示。由题根可知，oa切割磁感线产生的电动势为：，注意，由于棒有内阻。由全电路欧姆定律：（因为a点电势高于o电势）。点评：①见到这些非常规电路画等效电路是很必要也很有效的方法。②之所以题目设计为求Uoa，是为了体现求解电势差的注意点。拓展2：磁场不是普通的匀强磁场例3：其他条件同例3，空间存在的匀强磁场随时间作周期性变化，B=B0sinAt，其中A为正的常数，以垂直纸面向里为正方向，求Uoa。解析：由于B变化，棒oa切割磁感线产生的电动势不再是恒定值，而是随时间作周期性变化的交变值，由题根可知：此电势差也随时间作周期性变化。拓展3：有机械能参与的能量转化问题例4：如图8所示，一金属圆环和一根金属辐条构成的轮子，可绕垂直于圆环平面的水平轴自由转动，金属环与辐条的电阻不计，质量忽略，辐条长度为L0，轮子处在与之垂直的磁感应强度为B匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，一阻值为R的定值电阻通过导线与轮子的中心和边缘相连，轮子外缘同时有绝缘绳绕着，细绳下端挂着质量为m的重物，求重物下落的稳定速度。解析：此题中由于重物下落，带动圆轮转动，辐条oa做切割磁感线运动产生电动势，oa相当于电源，与电阻R构成闭合电路，a端为正极，o端为负极，如图9所示。由于oa边受到的安培力阻碍圆环转动，并且随着转速逐渐增大，安培力也逐渐增大，最终达到一稳定速度，解此速度可用两种方法解，一种是根据力矩平衡解，另一种根据能量守恒解。点评：在处理伴有能量转化的物理问题时，解题方法通常不唯一，可以从纯力学角度下手，也可以利用能量守恒，很显然，利用能量关系解题往往较简捷，故下面的关于能量拓展系列都用此法解。变式（1）：如果原题中的辐条有电阻，且电阻r，求最终系统平衡的速度。解析：如果辐条有电阻，则方法二中的能量关系方程应为：变式（2）：如果把原题中的辐条由一根变成四根，如图10所示，且相邻两根辐条的夹角是90°，辐条电阻不计，求重物最终下落的稳定速度。解析：由一根辐条变成四根辐条，则当圆环转动时相当于产生了四个电源，且四个电源是并联关系，总电动势还是等于每个辐条产生的电动势，由于电阻不计，故用能量守恒方法解的能量守恒方程依然是：，最终速度还是：变式（3）：如果把变式（2）中的四根辐条变成一金属圆盘，且不计金属圆盘内阻，求重物最终下落的稳定速度，如图11所示：解析：金属圆盘可看作是无数根金属辐条并联而成，此时圆盘转动产生的总电动势依然等于每根辐条产生的电动势：。最终速度也是：形式虽然变了，本质依然没变。变式（4）：如果变式（2）中的四根辐条的电阻都是r，则重物下落的最终稳定速度为多少？解析：当四根辐条都有电阻时，且是并联关系，并联后总电阻为，电动势还是，则利用能量守恒求最终速度的方程变为：变式（5）：在变式（4）的情况下，去掉定值电阻R，环的电阻不可忽略，大小为R，且改变圆环右半边所在区域磁场的方向，如图12所示，磁感应强度的大小都是B，MN左侧磁场垂直纸面向里，MN右侧磁场垂直纸面向外，求重物最终下落的稳定速度。