圆的方程ppt课件

要点梳理1.圆的定义在平面内，到的距离等于的点的叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是和.3.圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）,其中为圆心,为半径.§9.3圆的方程基础知识自主学习集合圆心半径(a,b)r定点定长4.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是,其中圆心为,半径r=.5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）；（2）；（3）.D2+E2-4F＞02,2ED.2422FED根据题意，选择标准方程或一般方程根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)（1）点在圆上:;（2）点在圆外:;（3）点在圆内:.(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2＞r2(x0-a)2+(y0-b)2＜r2基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是（）A.a＜-2或a＞B.＜a＜0C.-2＜a＜0D.-2＜a＜解析方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为+(y+a)2=a2-a+1,所以若方程表示圆，则有∴3a2+4a-4＜0,∴-2＜a＜.323232D22ax43,01432aa322.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离是（）A.B.C.D.解析配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心（1，-1）到直线的距离d=212322223D.22321113.（2009·重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是（）A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析设圆的圆心C（0，b）,则=1,∴b=2.∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.A22)2()10(b4.当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为（）A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0解析直线方程变为（x+1）a-x-y+1=0,∴C（-1，2）.∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即x2+y2+2x-4y=0.C5,21,0101yxyxx得由5.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）A.（x-3）2+(y+1)2=4B.（x+3）2+(y-1)2=4C.（x-1）2+(y-1)2=4D.（x+1）2+(y+1)2=4解析设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.∵圆心C在直线x+y-2=0上，∴b=2-a.∵|CA|2=|CB|2，∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.C题型一求圆的方程【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程.由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐.解方法一设所求的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为，∴r2=题型分类深度剖析7思维启迪2ba,)7(222ba即2r2=(a-b)2+14①由于所求的圆与x轴相切，∴r2=b2.②又因为所求圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b=0.③联立①②③，解得a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3，r2=9.故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.方法二设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心为半径为令y=0，得x2+Dx+F=0,由圆与x轴相切，得Δ=0，即D2=4F.④又圆心到直线x-y=0的距离为,2,2ED.42122FED2,2ED,222ED由已知，得即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F）⑤又圆心在直线3x-y=0上，∴3D-E=0.⑥联立④⑤⑥，解得D=-2,E=-6,F=1或D=2，E=6，F=1.故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0.,)7(222222rED2,2ED探究提高求圆的方程，一般用待定系数法.圆的一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径有关的条件，应优先选择圆的标准形式.知能迁移1（2009·辽宁文，7）已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A.（x+1）2+(y-1)2=2B.（x-1）2+(y+1)2=2C.（x-1）2+(y-1)2=2D.（x+1）2+(y+1)2=2解析由题意可设圆心坐标为（a,-a）,则,解得a=1，故圆心坐标为（1，-1），半径r=所以圆的方程为（x-1）2+(y+1)2=2.B242aaaa,2211【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.解圆的标准方程为(x-2)2+y2=3.1分（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，3分此时解得b=-2±.5分所以y-x的最大值为最小值为7分思维启迪,3202b6.62,62题型二与圆有关的最值问题（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.9分又圆心到原点的距离为10分所以x2+y2的最大值是x2+y2的最小值是12分,2)00()02(22,347)32(2.347)32(2探究提高与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如（x-a）2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.axby知能迁移2已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.12xy.56431204)2(322d565115651（2）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.∴tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，5,2525.121222tt5,12xy.433,433,433433.1123minmax2kkkkk题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标,代入圆的方程可求.思维启迪解如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分，N（x+3，y-4）在圆上，故（x+3）2+（y-4）2=4.因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点(点P在直线OM上时的情况).2,2yx.24,2300yx.43,242,2320000yyxxyyxx从而故528,521512,59和探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程;代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.知能迁移3已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.解（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）.∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x-2）2+（2y）2=4.故线段AP中点的轨迹方程为（x-1)2+y2=1.（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.题型四圆的综合应用【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.（1）利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；（3）利用圆的性质列出m的方程求解.思维启迪解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为，半径r=..512m3,2125.5427m方法二如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴∴O1M的方程为y-3=2即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.,21x.21MOk,03242yxxy∴m=3.∴半径为,圆心为方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.∴圆系方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0..44)6(15)23(121222m25.3,21.3,03mm即又圆心在PQ上.∴+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圆心为半径为.,2)3(221，M圆心213,2125探究提高（1）在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算.（2）本题中三种解法都是方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.知能迁移4已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不