多元函数微分学及其应用

第九章多元函数微分学及其应用第一节多元函数的基本概念1、求下列各函数的定义域，并作出其草图.(1)2211yxz；解:定义域11,11),(yxyxD,图略．(2))1ln(4222yxyxz；解:由11010422222yxyxyx得:定义域xyyxyxD4,10),(222,图略．(3)）（12arcsin22yxz．解:由112122yx得:定义域22),(22yxyxD,图略．２．设22),(yxxyyxf，求),(yxf．解:令sxytyx,得：stsystx11代入得sststf1)1(),(2故yyxyxf1)1(),(2．3、求下列极限：(1)32210)(1limyxexyxyx；解:(直接代入)原式=210101．(2)11)(cos1lim2200yxxyyx；解:原式=1)11(2lim2222200yxyxxyyx．(3)yyxy)(yxy102x1)sin(lim；解:原式=210221sinlimexy)(xy(xy)xxxyyx．4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值．(1)yyxyx200lim；解:当0x时，令2kxy，则kkkxkxxyyxkxyxyx1limlim22202002，其值与有关，故极限不存在．(2)2265limyxyxyx；解:当,yx时，有0656565022222222yyxxyxyyxxyxyx，故065lim22yxyxyx．5、设yxyxyxf),(，求)],(lim[lim00yxfyx和)],(lim[lim00yxfxy．试问：极限),(lim00yxfyx是否存在？为什么？解:1)],(lim[lim00yxfyx，1)],(lim[lim00yxfxy极限),(lim00yxfyx不存在，因为当0x时，令kxy，其值与有关．6、研究函数0,00,1),(2222yxyxyxf的连续性（在哪些点连续，哪些点不连续）．解:),f(f(x,y)yx0001lim00，故函数在)0,0(处不连续，其它处均连续．第二节偏导数１．填空题：(1)yxff,在),(00yx处均存在是),(yxf在该点连续的既非充分也非必要条件；(2)曲线1122xyxz在点)3,1,1(处的切线与轴正向所成的角是6；(3)设xyzln，则xzx1，yzy1；(4)设xyzef(x,y,z)，则),,(fx100，),,(fy100，),,(f100z．2．求下列函数的一阶偏导数：(1)yxxyz；解:22y)(xyxz，22y)(xxyz．(2)xxy)(z1解:]xyxyxy)([xy)(xzx11ln1，121xxy)(xyz．(3)zyxu；解:1zzyxyxu，xxzyyuzyzln1，xxyyzuzyzlnln．3．求下列函数的二阶偏导数：(1)y)(xxzln解:yxxy)(xxzln，yxxyz，2222y)(xyxxz，22y)(xyyxz，222y)(xxyz，22y)(xyxyz(2)yxzarcsin；解:221xyxz，22xyyxyz，232222)xx(yxz，23222)xy(yyxz，23222122222)xx(y)x(yyxyz，][12322221222)x(yx)x(yyxyz．4．设函数,yx,,yx,yxyf(x,y)0001cos222222判断其在点),(00处的连续性和偏导数是否存在．解:1）),f(yxyf(x,y)yxyx0001coslimlim220000故函数在点),(00处连续；2）Δx),f()Δx,f(),(fΔxx0000lim000000lim0ΔxΔxΔy),f(Δy),f(),(fΔyy0000lim000ΔyΔyΔyΔy01coslim20201coslimΔyΔy，极限不存在，故此点处关于的偏导数不存在．第三节全微分１．填空选择题：(1)二元函数f(x,y)z在点),(yx处可微的充分必要条件是0lim0ρdzΔzρ，其中Δzf(x,y)ΔyΔx,yxf,为表达式(x,y)Δxf(x,y)Δxfyx,22ΔyΔx．(2)在点),(yx处),(yxdf存在的充分条件为．．的全部二阶偏导数均存在；．连续；．的全部一阶偏导数均连续；．连续且yxff,均存在．2．求函数xyz当2x，1y，1.0x，2.0y时的全增量和全微分．解:320128012...Δz30202101.).(.ΔyyzΔxxzdz3．求下列函数的全微分：(1)23yxz解:223yxxz，yxyz32ydyxdxyxdyyzdxxzdz32223(2)yxz解:xyxz21，2yxyyzdyyxydxxydyyzdxxzdz221(3))ln(222zyxu解:2222zyxxxu，2222zyxyyu，2222zyxzzudzzyxzdyzyxydxzyxxdu2222222222224．讨论函数xyz在点)0,0(处的可导性与可微性．解:000lim000ΔxΔxxzΔx),(,000lim000ΔyΔyyzΔx),(,故函数xyz在点)0,0(处的偏导数存在；但2200limlimΔyΔxΔxΔyρdzΔzρρ，其中22ΔyΔx易知当Δx,Δy沿直线xy趋于)0,0(时此极限不存在。故函数xyz在点)0,0(处不可微．第四节多元复合函数的求导法则１．求下列函数的偏导数或全导数：(1)22yxz，34,3tytx．解:dtdz=dtdyyzdtdxxz=)ytx(yx3221231=)t(662486t16t9t1(2)22xyf(v),vyz，其中可导．解:xzvfxxvvf2yzvfyyvvf211(3)yxez，)x(y，其中可导．解:dxdz=dxdyyzxz=(x)xeeyy(4)设yxvyxuvuz,2,32，求yzxz,．解:xz22332vuuvxvvzxuuzyz22334vuuvyvvzyuuz(5)wvuz32，13123t,wtv,tu．解:dtdz=322223394vuwtvuwuv2．求下列函数的偏导数：(1)(xy)),yf(xzsin32，其中可导，求xz，yz．解:xz21cos2f(xy)yfxyz212cos3f(xy)xfy(2)(yz))xyef(xuxsin，其中可导，求xu，yu，zu．解:xuf(yz))ye(xsin1，yu=f(yz))xze(xcos，zu=f(yz)xycos．(3)设yxef(u,x,y),uz，其中二阶可导，求xz，yxz2．解:xz21ffey，yxz2=2321131121ffxefefxefeyyyy．(4)设),,(22yxxyfz具有二阶连续偏导数，求22xz，yxz2，22yz．解:xz2122fxyfy，yz=2212fxfxy22xz22221231142442fyxfxyfyfyyxz2=22312221132125222fyxfyxfxyfxfy22yz=22412311221442fxfyxfyxfx3．已知函数，可导，验证at)g(xat)f(xu满足22222xuatu．证明：g-afatu，gafatu2222，gfxu，gfxu22，故22222xuatu．第五节隐函数的求导公式1．设方程222yxxy确定了隐函数)(xyy，求dxdy．解:（公式法）令F(x,y)222yxxy，xyFx2yxFy2，则dxdyyxFFyxxy22，提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。2．设方程xzz)y(xsin确定了隐函数),(yxzz，求xz，yz，．解:（公式法）令xzz)y(xF(x,y,z)sin，1cosz)y(xFxz)y(xFycos，1cosz)y(xFz则xzzxFF1cos1cosz)y(xz)y(x，yz=zyFF1coscosz)y(xz)y(xdx1cos1cosz)y(xz)y(xdy1coscosz)y(xz)y(x3．设方程zeezxy2确定了隐函数),(yxzz，求xz，22xz．解:令F(x,y,z)zeezxy2，xyxyeF，2ezzF则xzzxFF)2(zeyexy，22xz=3)(22)2(])2[(zzeeeeyxyzxy．4．设隐函数),(yxzz由方程0)xz,yyzF(x所确定，证明xyzyzyxzx．证明：221FxzFFxyF212FFyz-，zF2111FxFy,xzzxFF2122111FxFyFxzF,yz=zyFF2112211FxFyFyzF,故xyzyzyxzx．5．求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：(1)设432050z222zyxyx，求dxdy，dxdz．解:方程组两边直接对自变量求偏导，得：03210222dxdzdxdydxdzzdxdyyx故dxdyzyzx233，dxdzzyyx232．(2)设xyuvyxuu33，求xu，yu，xv，yv．解:方程组两边直接对自变量求偏导，得：130322xuyxvvxvxvxuu故xu=xyvuxv22393，xv=xyvuyvu22293同理可得到：yu=xyvuxuv22293，yv=xyvuyu22393．6．设t),f(x,y而是由0F(x,y,t)所确定的的函数，其中f,F均有一阶连续的偏导数，求dxdy．解:联立方程组0F(x,y,t)t)f(x,y两边直接对自变量求偏导，得：0xtFdxdyFFxtffdxdytyxtx故dxdytytxttxFFfFfFf第六节多元函数微分学的几何应用1．求