五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用(A级).学生版

MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page1of8数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2aa课前预习知识框架完全平方数的性质和应用MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page2of82.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。（7）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。（8）完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．3.重点公式回顾：平方差公式：（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。（2）自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.（3）平方差公式：【例1】是的平方．22()()ababab22()()ababab1234567654321(1234567654321)重难点例题精讲MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page3of8【【巩巩固固】】12345678987654321*（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是的平方．【例2】写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数．【【巩巩固固】】从1到2011中有几个有偶数个因数的整数？【例3】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。【【巩巩固固】】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【例4】自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page4of8【【巩巩固固】】不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第l6个数字是_________【例5】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【【巩巩固固】】各位数字的平方和等于9的数共有________个．【例6】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【【巩巩固固】】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【例7】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？3528aMSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page5of8【【巩巩固固】】从1到2011的所有自然数中，乘以60后不是完全平方数的数共有多少个？【例8】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【【巩巩固固】】有3个连续自然数，它们的和为一个立方数，中间数是平方数，则这3个数中最小数的最小值为．【例9】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【【巩巩固固】】一个数的完全平方有93个约数，求该数的约数个数是多少？【例10】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page6of8【【巩巩固固】】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【随练1】一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【随练2】1988与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【随练3】14，144，1444，14444，……中有几个完全平方数？1.两个完全平方数的差是两个奇偶性相同的数的乘积。2.一个不是完全平方数的数乘以一个数成为一个完全平方数，这个数最小是它次数为奇数的所有质因数的乘积。3.后面几位（至少2位）数字相同的数中只有4有可能是完全平方数。课堂检测复习总结MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page7of8【作业1】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【作业2】是否存在由2011个同样的数字组成的多位数？如果存在，请举例说明；如果不存在，请说明理由．【作业3】2007与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【作业4】一个数的完全平方有35个约数，求该数的约数个数是多少？【作业5】从1到1997的所有自然数中，乘以90后是完全平方数的数共有多少个？家庭作业MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（A级）.学生版Page8of8学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈