高阶导数教案A班

高等数学II教案标题：高阶导数教学目标：1.会求初等函数的高阶导数;2.了解莱布尼茨公式.教学重点及难点：教学重点：二阶导数计算.教学难点：n阶导数的推导及莱布尼茨公式.教学内容（教学时数：2）一、新课导入若质点的运动方程)(tss，则物体的运动速度为)()(tstv，或dtdstv)(，而加速度)(ta是速度)(tv对时间t的变化率，即)(ta是速度)(tv对时间t的导数：)()(dtdsdtddtdvta或))(()(tstv，由上可见，加速度是)(ts的导函数的导数，这样就产生了高阶导数。二、内容精讲定义若函数)(xfy的导函数)(xf在0x点可导，就称)(xf在点0x的导数为函数)(xfy在点0x处的二阶导数，记为)(0xf，即)()()(lim0000xfxxxfxfxx，此时，也称函数)(xfy在点0x处二阶可导。注⑴若)(xfy在区间I上的每一点都二次可导，则称)(xf在区间I上二次可导，并称Ixxf),(为)(xf在I上的二阶导函数；备注：注⑴：⑵仿上定义，由二阶导数)(xf可定义三阶导数)(xf，由三阶导由三阶导数)(xf可定义四阶导数)()4(xf，一般地，可由1n阶导数)()1(xfn定义n阶导数)()(xfn；⑶二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：)(0)(xfn，)(0)(xyn，0xxnndxyd或0xxnndxfd与nnnndxydxyxf),(),()()(或nndxfd；⑷开始所述的加速度就是s对t的二阶导数，依上记法，可记22dtsd或)(ts；例题精讲：例1cbxaxy2，求,yy。解220yaxbyay例21yx，求y。解13221()2yxx，352213()24yxx例33xye，求y。解33(3)3xxyexe，33xye，327xye例4cosxyex，求y。解cossin(cossin)xxxyexexexx(cossin)e(sincos)2sinxxxyexxxxex例5lnxyx，求y解221ln11lnxxxxyxx备注：22444(1ln)(1ln)()(1ln)232lnxxxxxxxxxxyxxx例6)1ln(xy，求各阶导数。解)1ln(xy，xy11，2)1(1xy，3)1(21xy，4)4()1(321xy，……一般地，有nnnxny)1()!1()1(1)(例7xysin，求各阶导数。解cossin()2yxxcos()sin(2)22yxxcos(2)sin(3)22yxx一般地，有)2sin()(nxyn，即)2sin()(sin)(nxxn。选讲：莱布尼茨公式(),()2,uvuvuvuvuvuvuv()33uvuvuvuvuv()()()0[()()]nnknkknkuxvxCuv，其中vvuu)0()0(,例8cosxyex，求)5(y（选讲）解(5)(5)1(4)255()cos()(cos)()(cos)xxxyexCexCex)5()4(4535)(cos)(cos)()(cos)(xexeCxeCxxx=cos5(sin)10(cos)xxxexexex10sin5cos(sin)xxxexexex=)cos(sin4xxex备注：三、同步练习1.求下列函数的二阶导数(1)2(21)yx(2)1yx(3)2yxx(4)sincosyxx(5)2lnyxx(6)10xy(7)sinxyex(8)2ln(1)yx（9）arctanyx2.已知,xyxe求(4)y.3.已知,nyx求(n)y.4.已知cosyx，求(n)y.5.验证22xxyee满足关系式：40yy.6.验证43xxy满足关系式：yyy)1(22.作业、讨论题、思考题：