25-26具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数

12.5具有非齐次边界条件的问题),,(txw),,(),(),(txwtxvtxu本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题的求解方法。处理这类问题的基本原则是：无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅助函数的方法。（也可称为辅助函数法）我们以下面的问题为例，说明选取函数代换),(txv通过函数代换使得对于新的未知函数而言，边界条件为齐次的。2考察定解问题：),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),,(),(),(txwtxvtxu,0),0(tv.0),(tlv),(),(),(),0(21tutlwtutw),,(txw),(txv通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，为此令(82)并选取辅助函数使新的未知函数满足齐次边界条件，即(83)由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要(84)3),(txw),(txwx),()(),(tBxtAtxw)(),(tBtA)],()([1)(12tutultA),()(1tutB),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),,(),(),(txwtxvtxu(82)),(),(),(),0(21tutlwtutw(84)其实满足(84)中两个条件的函数是很多的，为了以后计算方便起见，通常取为的一次式，即设由条件(84)确定得4),(txv).()]()([),(112tututulxxtw).()]()([),(),(112tututulxtxvtxu),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),,(),(),(txwtxvtxu(82)于是可得因此，令(85)则问题(79)-(81)可化成的定解问题5),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),0,0(),(12tlxtxfvavxxtt,0),(),0(tlvtv).()0,(),()0,(11xxvxxvt(86)),()()(),(),(1121tututulxtxftxf),0()0()0()()(1121uuulxxx其中).0()0()0()()(1121uuulxxx).()]()([),(),(112tututulxtxvtxu(85)6),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut(80)(81)(79)),0,0(),(12tlxtxfvavxxtt,0),(),0(tlvtv).()0,(),()0,(11xxvxxvt(86)).()]()([),(),(112tututulxtxvtxu(85)将问题(86)的解代入即得原定解问题问题(79)-(81)的解。7),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt(79);)(),(),(),0(21tutlututu);(),(),(),0(21tutlututux);(),(),(),0(21tutlututux(4)(3)(2)(1));(),(),(),0(21tutlututuxx).()(),(12tuxtutxw).()()(),(121tlutuxtutxw.)(2)()(),(1212xtuxltututxw).()]()([),(112tututulxxtw若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法把非齐次边界条件化成齐次的。我们就下列几种非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数),(txw的表达式：以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。).()(),(12tuxtutxw8求解下列问题：),0,0(2tlxuauxxt,0),(,),0(tluttu,.0)0,(xu(87)例1.),(txlttxw,),(),(txlttxvtxu-),0,0(12tlxlxvavxxt,0),(,0),0(tlvtv.0)0,(xv(88)解选取辅助函数令则问题(87)化成9,sin)(),(1nnxlntvtxv(89),)()(0)()(2ttlannndeftv-),0,0(12tlxlxvavxxt,0),(,0),0(tlvtv.0)0,(xv(88)应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设利用2.4.2节中推得公式(64)可知再利用2.4.2节中推得公式(62)可知dxlxnlxll0sin12.2ndxlxntxfltfln0sin),(2)(10ntfn2)(.sin1)(2),(1)(2322ntlanlxneanltxv,)()(0)()(2ttlannndeftvttlanndentv0)()(22)(,1)(22)(232tlaneanl,sin)(),(1nnxlntvtxv.sin1)(21),(1)(2322ntlanlxneanllxttxu再将代入(90)即得把(90)代入(89)可得因此，原问题(87)的解为11f21,uut),(xw),(),(),(xwtxvtxu特别值得注意的是，对于给定的定解问题，例如：),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt),(),(),(),0(21tutlututu).()0,(),()0,(xxuxxut如果方程中的自由项和边界条件中的都与自变量无关，在这种情形下，我们可选取辅助函数通过函数代换使方程与边界条件同时化成齐次的。12求解下列问题：),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)例2),(),(),(xwtxvtxu,2cos2sin))((2xlxlxwvavxxtt解设问题的解为(92))(xw.02cos2sin2xlxlwa将(92)代入问题(91)中的方程，即得为了将此方程化成齐次的，自然选取满足13)(xw),(txv,)(30w.)(6lw,3)0(),0(wtv,6)(),(lwtlv,13)()0,(lxxwxv.4sin)0,(xlxvt求解下列问题：),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)例2),(),(),(xwtxvtxu解(92)再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得为了将的边界条件也化成齐次，则满足14.02cos2sin2xlxlwa,)(30w.)(6lw),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv),(13)0,(xwlxxv(94)(93)),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)),(),(),(xwtxvtxu(92)这样由代换问题(91)化为下面两个问题：和.4sin)0,(xlxvt15.134sin32)(222lxxlalxw)(xw.02cos2sin2xlxlwa,)(30w.)(6lw(93)问题(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv,4sin32)0,(222xlalxv.4sin)0,(xlxvt将求得的代入问题(94)(*)16),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv,4sin32)0,(222xlalxv.4sin)0,(xlxvt(*))1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14),sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln(15)利用公式nnba,其中系数满足17)1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxv,4nxdxlnxlallalnsin4sin3220222dxlxnlxanbln0sin4sin2,32222al,0.4n那么nnba,其中系数计算可得,4n,4al,0.4n18.4sin4sin44cos32),(222xltlaaltlaaltxvxltlaaltlaaltxu4sin4sin44cos32),(222.134sin32222lxxlal),0,0(2tlxuavxxtt,0),(,0),0(tlvtv),(13)0,(xwlxxv(94).4sin)0,(xlxvt于是，问题(94)的解为因此，原问题(91)的解为19求解下列问题：),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt,6),(,3),0(tlutu.4sin)0,(,13)0,(xlxulxxut(91)例2另解选取辅助函数),1(3),(lxtxw)1(3),(),(lxtxvtxu,2cos2sin2xlxlvavxxtt,0),(),0(tlvtv.4sin)0,(,0)0,(xlxvxvt令代入问题(91)得(*)20,2cos2sin2xlxlvavxxtt,0),(),0(tlvtv.4sin)0,(,0)0,(xlxvxvt由2.4.1节的分析可设),(),(),(txwtxvtxv),(txv),(txw,2xxttwaw,0),(),0(tlwtw.4sin)0,(,0)0,(xlxwxwt,2cos2sin2xlxlvavxxtt,0),(),0(tlvtv.0)0,(,0)0,(xvxvt而且和分别满足如下定解问题(I)(II)(*)21,2xxttwaw,0),(),0(tlwtw.4sin)0,(,0)0,(xlxwxwt(II))1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxw,0sin)(20xdxlnxlalndxlxnlxanbln0sin4sin2利用2.1节中的公式(14)(15)可算得nnba,其中系数为,4n,4al,0.4n则问题(II)的解为.4sin4sin4),(xltlaaltxw22,2cos2sin2xlxl