一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题

一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题已知函数单调性,求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(xf;若函数单调递减,则0)(xf”来求解.例：若函数1)(23axxxf在]2,1[上单调递减,求实数a的取值范围.思路点拨:先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.)23(23)(2axxaxxxf解析：方法一：由)(xf在]2,1[上单调递减知0)(xf，即0232axx在]2,1[上恒成立,即xa23在]2,1[上恒成立.故只需max)23(xa,故3a.综上可知，a的取值范围是［3,+∞).方法二：当0a时，0)(xf,故)(xfy在),(上单调递增，与)(xfy在]2,1[上单调递减不符，舍去.当0a时，由0)(xf得a32≤x≤0，即)(xf的单调递减区间为]0,32[a，与)(xf在]2,1[上单调递减不符，舍去.当0a时，由0)(xf得0≤x≤a32，即)(xf的减区间为]32,0[a，由)(xf在]2,1[上单调递减得232a,得a≥3.综上可知，a的取值范围是［3,+∞).针对性练习：1．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是()A．b＜－1或b＞2B．b≤－2或b≥2C．－1＜b＜2D．－1≤b≤2解析D由题意，得y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0在R上恒成立，∴Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.2．函数f(x)＝13x3＋12(2－a)x2－2ax＋5在区间[－1,1]上不单调，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝x2＋(2－a)x－2a＝(x＋2)(x－a)＝0的两根为x1＝－2，x2＝a.若f(x)在[－1,1]上不单调，则－1a1.3．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．解析由题意知，f′(x)＝3x2－a在[1，＋∞)上有3x2－a≥0恒成立，∴a≤(3x2)min，而(3x2)min＝3，∴a≤3.4．已知f(x)＝ex－ax－1.若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解析∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]．5．函数f(x)＝24x－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．解析由题意知m8≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.6.已知函数13)(23xxaxxf在R上是减函数，求实数a的取值范围．解由题意得f′(x)＝3ax2＋6x－1.若f(x)在R上是减函数，则0)(xf(x∈R)恒成立，∴a＜0，Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3.故实数a的取值范围是(－∞，－3]．7.已知函数1)(23xaxxxf在(－∞，1]上是增函数，试求实数a的取值范围．解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋1，由于函数f(x)在(－∞，1]上是增函数，∴当x∈(－∞，1]时，0)(xf(在个别点f′(x)可以为0)恒成立，即3x2＋2ax＋1≥0在x≤1时恒成立．令g(x)＝3x2＋2ax＋1，∴Δ＝4a2－12≤0或16200)1(ag，即a2≤3或a≥－2，a23，a－3.∴a2≤3，即－3≤a≤3.故a的取值范围是[－3，3]．