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1UFLDL教程-深度神经网络说明：本教程将阐述无监督特征学习和深度学习的主要观点。通过学习，你也将实现多个功能学习/深度学习算法，能看到它们为你工作，并学习如何应用/适应这些想法到新问题上。本教程假定机器学习的基本知识第一章.稀疏自编码器1.神经网络以监督学习为例，假设我们有训练样本集，那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型，它具有参数，可以以此参数来拟合我们的数据。为了描述神经网络，我们先从最简单的神经网络讲起，这个神经网络仅由一个“神经元”构成，以下即是这个“神经元”的图示：这个“神经元”是一个以及截距为输入值的运算单元，其输出为，其中函数被称为“激活函数”。在本教程中，我们选用sigmoid函数作为激活函数可以看出，这个单一“神经元”的输入－输出映射关系其实就是一个逻辑回归（logisticregression）。虽然本系列教程采用sigmoid函数，但你也可以选择双曲正切函数（tanh）：以下分别是sigmoid及tanh的函数图像函数是sigmoid函数的一种变体，它的取值范围为，而不是sigmoid函数的2注意，与其它地方（包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程）不同的是，这里我们不再令。取而代之，我们用单独的参数来表示截距。最后要说明的是，有一个等式我们以后会经常用到：如果选，也就是sigmoid函数，那么它的导数就是（如果选择tanh函数，那它的导数就是，你可以根据sigmoid（或tanh）函数的定义自行推导这个等式。神经网络模型所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起，这样，一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如，下图就是一个简单的神经网络：我们使用圆圈来表示神经网络的输入，标上“”的圆圈被称为偏置节点，也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层，最右的一层叫做输出层（本例中，输出层只有一个节点）。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层，因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到，以上神经网络的例子中有3个输入单元（偏置单元不计在内），3个隐藏单元及一个输出单元。我们用来表示网络的层数，本例中，我们将第层记为，于是是输入层，输出层是。本例神经网络有参数，其中（下面的式子中用到）是第层第单元与第层第单元之间的联接参数（其实就是连接线上的权重，注意标号顺序），是第层第单元的偏置项。因此在本例中，，。注意，没有其他单元连向偏置单元(即偏置单3元没有输入)，因为它们总是输出。同时，我们用表示第层的节点数（偏置单元不计在内）。我们用表示第层第单元的激活值（输出值）。当时，，也就是第个输入值（输入值的第个特征）。对于给定参数集合，我们的神经网络就可以按照函数来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下：我们用表示第层第单元输入加权和（包括偏置单元），比如，，则。这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数扩展为用向量（分量的形式）来表示，即，那么，上面的等式可以更简洁地表示为：我们将上面的计算步骤叫作前向传播。回想一下，之前我们用表示输入层的激活值，那么给定第层的激活值后，第层的激活值就可以按照下面步骤计算得到：4将参数矩阵化，使用矩阵－向量运算方式，我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。目前为止，我们讨论了一种神经网络，我们也可以构建另一种结构的神经网络（这里结构指的是神经元之间的联接模式），也就是包含多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是层的神经网络，第层是输入层，第层是输出层，中间的每个层与层紧密相联。这种模式下，要计算神经网络的输出结果，我们可以按照之前描述的等式，按部就班，进行前向传播，逐一计算第层的所有激活值，然后是第层的激活值，以此类推，直到第层。这是一个前馈神经网络的例子，因为这种联接图没有闭环或回路。神经网络也可以有多个输出单元。比如，下面的神经网络有两层隐藏层：及，输出层有两个输出单元。要求解这样的神经网络，需要样本集，其中。如果你想预测的输出是多个的，那这种神经网络很适用。（比如，在医疗诊断应用中，患者的体征指标就可以作为向量的输入值，而不同的输出值可以表示不同的疾病存在与否。）52.反向传导算法假设我们有一个固定样本集，它包含个样例。我们可以用批量梯度下降法来求解神经网络。具体来讲，对于单个样例，其代价函数为：这是一个（二分之一的）方差代价函数。给定一个包含个样例的数据集，我们可以定义整体代价函数为：以上公式中的第一项是一个均方差项。第二项是一个规则化项（也叫权重衰减项），其目的是减小权重的幅度，防止过度拟合。[注：通常权重衰减的计算并不使用偏置项，比如我们在的定义中就没有使用。一般来说，将偏置项包含在权重衰减项中只会对最终的神经网络产生很小的影响。如果你在斯坦福选修过CS229（机器学习）课程，或者在YouTube上看过课程视频，你会发现这个权重衰减实际上是课上提到的贝叶斯规则化方法的变种。在贝叶斯规则化方法中，我们将高斯先验概率引入到参数中计算MAP（极大后验）估计（而不是极大似然估计）。]权重衰减参数用于控制公式中两项的相对重要性。在此重申一下这两个复杂函数的含义：是针对单个样例计算得到的方差代价函数；是整体样本代价函数，它包含权重衰减项。6以上的代价函数经常被用于分类和回归问题。在分类问题中，我们用或，来代表两种类型的标签（回想一下，这是因为sigmoid激活函数的值域为；如果我们使用双曲正切型激活函数，那么应该选用和作为标签）。对于回归问题，我们首先要变换输出值域（译者注：也就是），以保证其范围为（同样地，如果我们使用双曲正切型激活函数，要使输出值域为）。我们的目标是针对参数和来求其函数的最小值。为了求解神经网络，我们需要将每一个参数和初始化为一个很小的、接近零的随机值（比如说，使用正态分布生成的随机值，其中设置为），之后对目标函数使用诸如批量梯度下降法的最优化算法。因为是一个非凸函数，梯度下降法很可能会收敛到局部最优解；但是在实际应用中，梯度下降法通常能得到令人满意的结果。最后，需要再次强调的是，要将参数进行随机初始化，而不是全部置为。如果所有参数都用相同的值作为初始值，那么所有隐藏层单元最终会得到与输入值有关的、相同的函数（也就是说，对于所有，都会取相同的值，那么对于任何输入都会有：）。随机初始化的目的是使对称失效。梯度下降法中每一次迭代都按照如下公式对参数和进行更新：其中是学习速率。其中关键步骤是计算偏导数。我们现在来讲一下反向传播算法，它是计算偏导数的一种有效方法。我们首先来讲一下如何使用反向传播算法来计算和，这两项是单个样例的代价函数的偏导数。一旦我们求出该偏导数，就可以推导出整体代价函数的偏导数：7以上两行公式稍有不同，第一行比第二行多出一项，是因为权重衰减是作用于而不是。反向传播算法的思路如下：给定一个样例，我们首先进行“前向传导”运算，计算出网络中所有的激活值，包括的输出值。之后，针对第层的每一个节点，我们计算出其“残差”，该残差表明了该节点对最终输出值的残差产生了多少影响。对于最终的输出节点，我们可以直接算出网络产生的激活值与实际值之间的差距，我们将这个差距定义为（第层表示输出层）。对于隐藏单元我们如何处理呢？我们将基于节点（译者注：第层节点）残差的加权平均值计算，这些节点以作为输入。下面将给出反向传导算法的细节：1.进行前馈传导计算，利用前向传导公式，得到直到输出层的激活值。2.对于第层（输出层）的每个输出单元，我们根据以下公式计算残差：83.对的各个层，第层的第个节点的残差计算方法如下：将上式中的与的关系替换为与的关系，就可以得到：以上逐次从后向前求导的过程即为“反向传导”的本意所在。计算我们需要的偏导数，计算方法如下：最后，我们用矩阵-向量表示法重写以上算法。我们使用“”表示向量乘积运算符（在Matlab或Octave里用“.*”表示，也称作阿达马乘积）。若，则。在上一个教程中我们扩展了的定义，使其包含向量运算，这里我们也对偏导数也做了同样的处理（于是又有）。9那么，反向传播算法可表示为以下几个步骤：1.进行前馈传导计算，利用前向传导公式，得到直到输出层的激活值。2.对输出层（第层），计算：3.对于的各层，计算：4.计算最终需要的偏导数值：实现中应注意：在以上的第2步和第3步中，我们需要为每一个值计算其。假设是sigmoid函数，并且我们已经在前向传导运算中得到了。那么，使用我们早先推导出的表达式，就可以计算得到。10最后，我们将对梯度下降算法做个全面总结。在下面的伪代码中，是一个与矩阵维度相同的矩阵，是一个与维度相同的向量。注意这里“”是一个矩阵，而不是“与相乘”。下面，我们实现批量梯度下降法中的一次迭代：1.对于所有，令,（设置为全零矩阵或全零向量）2.对于到，a.使用反向传播算法计算和。b.计算。c.计算。3.更新权重参数：现在，我们可以重复梯度下降法的迭代步骤来减小代价函数的值，进而求解我们的神经网络。113.自编码算法与稀疏性目前为止，我们已经讨论了神经网络在有监督学习中的应用。在有监督学习中，训练样本是有类别标签的。现在假设我们只有一个没有带类别标签的训练样本集合，其中。自编码神经网络是一种无监督学习算法，它使用了反向传播算法，并让目标值等于输入值，比如。下图是一个自编码神经网络的示例。自编码神经网络尝试学习一个的函数。换句话说，它尝试逼近一个恒等函数，从而使得输出接近于输入。恒等函数虽然看上去不太有学习的意义，但是当我们为自编码神经网络加入某些限制，比如限定隐藏神经元的数量，我们就可以从输入数据中发现一些有趣的结构。举例来说，假设某个自编码神经网络的输入是一张图像（共100个像素）的像素灰度值，于是，其隐藏层中有50个隐藏神经元。注意，输出也是100维的。由于只有50个隐藏神经元，我们迫使自编码神经网络去学习输入数据的压缩表示，也就是说，它必须从50维的隐藏神经元激活度向量中重构出100维的像素灰度值输入。如果网络的输入数据是完全随机的，比如每一个输入都是一个跟其它特征完全无关的独立同分布高斯随机变量，那么这一压缩表示将会非常难学习。但是如果输入数据中隐含着一些特定的结构，比如某些输入特征是彼此相关的，那么这一算法就可以发现输入数据中的这些相关性。事实上，这一简单的自编码神经网络通常可以学习出一个跟主元分析（PCA）结果非常相似的输入数据的低维表示。12我们刚才的论述是基于隐藏神经元数量较小的假设。但是即使隐藏神经元的数量较大（可能比输入像素的个数还要多），我们仍然通过给自编码神经网络施加一些其他的限制条件来发现输入数据中的结构。具体来说，如果我们给隐藏神经元加入稀疏性限制，那么自编码神经网络即使在隐藏神经元数量较多的情况下仍然可以发现输入数据中一些有趣的结构。稀疏性可以被简单地解释如下。如果当神经元的输出接近于1的时候我们认为它被激活，而输出接近于0的时候认为它被抑制，那么使得神经元大部分的时间都是被抑制的限制则被称作稀疏性限制。这里我们假设的神经元的激活函数是sigmoid函数。如果你使用tanh作为激活函数的话，当神经元输出为-1的时候，我们认为神经元是被抑制的。注意到表示隐藏神经元的激活度，但是这一表示方法中并未明确指出哪一个输入带来了这一激活度。所以我们将使用来表示在给定输入为情况下，自编码神经网络隐藏神经元的激活度。进一步，让表示隐藏神经元的平均活跃度（在训练集上取平均）。我们可以近似的加入一条限制其中，是稀疏性参数，通常是一个接近于0的较小的值（比如）。换句话说，我们想要让隐藏神经元的平均活跃度接近0.05。为了满足这一条件，隐藏神经元的活跃度必须接近于0。为了实现这一限制，我们将会在我们的优化目标函数中加入一个额外的惩罚因子，而这一惩罚因子将惩罚那些和有显著不同的情况从而使得隐藏神经元的平均活跃度保持在较小范围内。惩罚因子的具体形式有很多种合理的选择，我们将会选择以下这一种：13这里，是隐藏层中隐藏神经元的数量，而索引依次代表隐藏层中的每一个神经元。如果你对相对熵（KLdivergence）比较熟悉，这一惩罚因子实际