18.2.4--菱形的判定-公开课课件

第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形第3课时菱形的判定1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形由边的数量关系判定菱形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升ABCDO(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；1知识点由对角线的位置关系判定菱形同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.平行四边形菱形还有其它的方法吗？用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明：判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.DCBA已知：在ABCD中有对角线AC⊥BD，且相交于点O求证：ABCD是菱形∵四边形ABCD是平行四边形.∴BO=DO又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB∴△AOD≌△AOB.∴AD=AB∴ABCD是菱形O归纳对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方法包括两个条件——(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.例1如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：□ABCD是菱形.∵AB=5，AO=4，BO=3，∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形，AC⊥BD.∴□ABCD是菱形.证明：总结证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形．1如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？四边形ABCD是一个菱形．理由：由题意易得AB＝BC＝CD＝AD，所以四边形ABCD是菱形．解：2【2016·海南】如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是____________(只填写序号).①②③④3【2017·泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4D2知识点由边的数量关系判定菱形我们知道，菱形的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形是菱形吗?思考例2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点．试说明：四边形EFGH是菱形．由于点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，可知EH，HG，GF，FE分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH是菱形．导引：∵点E，H分别为AD，AC的中点，∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝CD.同理可证：EF＝AB，FG＝CD，HG＝AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四边形EFGH是菱形．12解：121212总结有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．要证明一个四边形是菱形，一般先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或对角线互相垂直．例3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CH⊥AB于点H，交AD于点F，DE⊥AB于点E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．导引：四边形CDEF是菱形．理由如下：∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CFDE.∴四边形CDEF是平行四边形．又∵DC＝DE，∴四边形CDEF是菱形．∥＝解：总结判定菱形的方法：①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.165这是一个特殊的平行四边形，是菱形．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，BD＝12，AC＝所以OB＝OD＝6，OA＝OC＝解：65，35.因为62＋()2＝92，即OB2＋OA2＝AB2，所以△AOB是直角三角形，所以AO⊥BO，即AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形．S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×12＝36.355512122如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()A．BA＝BCB．AC，BD互相平分C．AC＝BDD．AB∥CDB3【2017·河南】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()A．AC⊥BDB．AB＝BCC．AC＝BDD．∠1＝∠2C4【中考·遵义】如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是()A．AF＝EFB．AB＝EFC．AE＝AFD．AF＝BEC5【2017·临沂】如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是()A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形D6【2016·雅安】如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为()A．52cmB．40cmC．39cmD．26cmA7如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.如果AE＝4cm，那么四边形AEDF的周长为()A．12cmB．16cmC．20cmD．22cmB8如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG;④FH＝BD.其中正确的结论是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④14C1知识小结四条边相等四边形平行四边形菱形菱形的判定方法：蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。•蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。•蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。