1.3.1二项式定理

人教A版选修2-3二项式定理艾萨克·牛顿Isaacnewton(1643—1727，英国)。他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家。他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。10()?ab?)(3ba?)(2ba222baba23223()()33ababaababb9()()abab?)(nba思考：快速展开(a+b)n要解决哪些问题？1、展开后有多少项2、各单项式的形式3、各单项式的系数探究一(a+b)2＝(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b:每个都不取b的情况有C20种,则a2前的系数为C20恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2对(a+b)2展开式的分析尝试二项式定理的发现:3a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)（2ab3b2ab3a031222333333=Ca+Cab+Cab+Cb03C13C23C33C尝试二项式定理的发现:4a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)a+b)（（4a3ab22ab3ab4b0413222334444444=Ca+Cab+Cab+Cab+Cb14C24C44C尝试二项式定理的发现:每个都不取b的情况有1种,即Cn0,则an前的系数为Cn0恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1恰有2个取b的情况有Cn2种，则an-2b2前的系数为Cn2......恰有k个取b的情况有Cnk种，则an-kbk前的系数为Cnk......恰有n个取b的情况有Cnn种，则bn前的系数为Cnn尝试二项式定理的发现:将(a+b)n展开的结果是怎样呢？nnbabababa)())(()(①项：②系数：0nC1nCnnCknCnaban1kknbanb探究三相乘个)(banaba中选个)(knbba中选个)(kknC这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,…,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，该项是指展开式的第项，展开式共有_____个项.rnC展开式二项式系数rrnrnbaCr+1n+1n0n1n-1rn-rrnnnnnn(a+b)CaCabCabCb二项式定理)(Nn例1、化简:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.实战演练44044134224314404]1)1[()1C)1C)1C)1C)1Cxxxxxxx（（（（（解：原式n0n1n-1rn-rrnnnnnn(a+b)CaCabCabCb2.系数规律：nnnnnCCCC、、、、2103.指数规律：（1）各项的次数均为n；即为n次齐次式（2）a的次数由n逐次降到0，b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项)(Nn二项式定理练1：根据二项式定理的S=（）161-x841-x461-x241-x234S设A.(x+2)4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x4C44433422243114400421-x21-x21-x21-x2CCCCCS尝试二项式定理的应用：例2：50011225551+2x)=C(2x)+C(2x)+C(2x)（334455555+C(2x)+C(2x)+C(2x)2345=1+10x+40x+80x+80x+32x)51+2x（展开思考：50011225551-2x)=C(-2x)+C(-2x)+C(-2x)（334455555+C(-2x)+C(-2x)+C(-2x)2345=1-10x+40x-80x+80x-32x523451+2x)=1+10x+40x+80x+80x+32x（51-2x)（？若展开呢尝试二项式定理的应用：例3.求（x+a)12的展开式中的倒数第4项.解:12()13,xa的展开式有项倒数第4项是它的第10项.91299399112220.TCxaxa二项式定理的应用：的展开式的第三项）求（632.1yx的展开式的第三项）求（623xy2422626123216032yxyxCTT2422626123486023xyxyCTT课堂练习:2.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.732xx奎屯王新敞新疆3735C3372280C解：展开式的第4项的二项式系数第4项的系数课堂练习:1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx06.rr1由9-r-得26966791()322683TC解:3.的展开式常数项求933xx课堂练习:小测展开式的通项是）解：（92xxr9rr923x2C－＝6r0923解得令根据题意r53762669C常数项是rx2r9r91rxCT－＋＝求的展开式中的常数项；92）（xx展开式的通项是）解：（92xxr9rr923x2C－＝9r0,923且令根据题意Zr,x2,5376x2,x2016x2,x144x2,xx23x23043-889906697334495662293990091CTCTCTCTCT有理项分别是rx2r9r91rxCT－＋＝求的展开式中的有理项；92）（xx86420r，，，，可以取则例5:已知的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数比为2：3，求展开式中不含x的项。21()3nxx22()nxx变式训练2：已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。例6：已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则(1)a1+a2+a3+…+a7=_______(2)a1+a3+a5+a7=_________(3)a0+a2+a4+a6=_________赋值法变式训练3：若已知(1+2x)200=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a200(x-1)200，求a1+a3+a5+a7+…+a199的值。Ex5：设(1-3x)8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，那么｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a8｜的值是()A.1B.28C.38D.48课堂训练BEx6:在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.207