概率论-(复旦三版)习题二答案

概率论与数理统计（复旦第三版）习题二答案1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为24333555C1330.1,40.3,50.6CCCPXPXPX故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3)133{},{1},{1},{12}222PXPXPXPX.【解】X的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为3122113213213333151515CCCCC221210,1,2.C35C35C35PXPXPX故X的分布律为X012P22351235135（2）当0x时，()0FxPXx当01x时，22()035FxPXxPX当12x时，34()0135FxPXxPXPX当2x时，()0121FxPXxPXPXPX故X的分布函数0,022,0135()34,12351,2xxFxxx(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535PXFPXFFPXPXPXPXFFPX3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示3次射击中击中目标的次数.则X的可能取值为0，1，2，3，显然~(3,0.8)Xb其取不同值的概率为312322330(0.2)0.008,1C0.8(0.2)0.0962C(0.8)0.20.384,3(0.8)0.512PXPXPXPX　　故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512X分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3xxFxxxx3次射击中至少击中2次的概率为2230.896PXPXPX4.（1）设随机变量X的分布律为!kPxkak，其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.（2）设随机变量X的分布律为aPxkN，k=1，2，…，N，试确定常数a.【解】（1）由分布律的性质知001e!kkkPXkaak故ea(2)由分布律的性质知111NNkkaPXkaN即1a.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】设X、Y分别表示甲、乙投中次数，则~(3,0.6)Xb,~(3,0.7)Yb(1)0,01,12,23,3PXYPXYPXYPXYPXY33121233(0.4)(0.3)C0.6(0.4)C0.7(0.3)[phone]C(0.6)0.4C(0.7)0.3(0.6)(0.7)0.32076(2)1,02,03,0PXYPXYPXYPXY2,13,13,2PXYPXYPXY12322333C0.6(0.4)(0.3)C(0.6)0.4(0.3)33221233(0.6)(0.3)C(0.6)0.4C0.7(0.3)31232233(0.6)C0.7(0.3)(0.6)C(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则~(200,0.02)Xb，设机场需配备N条跑道，根据题意有0.01PXN即2002002001C(0.02)(0.98)0.01kkkkN利用泊松定理近似计算2000.024.np4420011e4e40.01!!kkkNkNPXNkk查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）(2)1(0)(1)PXPXPX0.10.11e0.1e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则1422355C(1)C(1)pppp故13p所以4451210(4)C()33243PX.9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】设B表示指示灯发出信号（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则~(5,0.3)XB。所求概率为5553()(3)C(0.3)(0.7)0.16308kkkkPBPX(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则~(7,0.3)YB，所求概率为7773()(3)C(0.3)(0.7)0.35293kkkkPBPY10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为2t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】2t（1）31.521.501.5e,0,1,2,!kkPXkkk从而32(0)e0.2231PX(2)52.522.502.5e,0,1,2,!kkPXkkk2.5(1)1(0)1e0.918PXPX11.设P{X=k}=kkkpp22)1(C,k=0,1,2P{Y=m}=mmmpp44)1(C,m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=59，试求P{Y≥1}.【解】因为5(1)9PX，所以4(1)9PX.即24(0)(1)9PXp，可得1.3p从而465(1)1(0)1(1)0.8024781PYPYp12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松定理近似计算,20000.0012np255549952000e25(0.001)(0.999)0.00185!PXC13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。【解】X的可能取值为1,2,3,，X的分布律为113(),1,2,3,44kPXkkX取偶数的概率为242pPXPXPXk321131313()()444444k213141451()414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则~(2500,0.002)Xb，则所求概率为200030000{15}1{14}PXPXPX由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松定理近似计算，有5140e5(15)10.000069!kkPXk(2)P(保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)PXPX5100e50.986305!kkk即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P（保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)PXPX550e50.615961!kkk即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae|x|,∞x+∞,求：（1）A值；（2）P{0X1};(3)F(x).【解】（1）由()d1fxx得||01ed2ed2xxAxAxA故12A.(2)11011(01)ed(1e)22xpXx(3)当x0时，11()ede22xxxFxx当x≥0时，0||0111()ededed222xxxxxFxxxx11e2x故1e,02()11e02xxxFxx16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为2100,100,()0,100.xfxxx求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】（1）电子管寿命小于150小时的概率为15021001001(150)d3PXxx150小时内没有电子管损坏的概率为33128[(150)]()327pPX(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率为1223124C()339p(3)当x100时F（x）=0当x≥100时()()dxFxftt100100()d()dxfttftt2100100100d1xttx故1001,100()0,0xFxxx17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知X~∪[0,a]，密度函数为1,0()0,xafxa其他故当x0时F（x）=0当0≤x≤a时001()()d()ddxxxxFxfttftttaa当xa时，F（x）=1即分布函数0,0(),01,xxFxxaaxa18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即1,25()30,xfx其他5312(3)d33PXx故所求概率为22333321220C()C()33327p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布1()5E.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依题意知1~()5XE，即其密度函数为51e,0()50,xxfxx0该顾客未等到服务而离