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第20讲三角形与全等三角形1．三角形的边、角关系三角形的任意两边之和__大于__第三边；三角形的内角和等于__180°__.2．三角形的分类按角可分为__直角三角形__和__斜三角形__，按边可分为__不等边三角形__和__等腰三角形__．3．三角形的主要线段(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等．(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．(4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．(5)垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．4．全等三角形的性质和判定(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．(2)判定①__两边和夹角__对应相等的两个三角形全等(SAS)；②__两角和夹边__对应相等的两个三角形全等(ASA)；③__两角和其中一角的对边__对应相等的两个三角形全等(AAS)；④__三边__对应相等的两个三角形全等(SSS)；⑤__斜边和一条直角边__对应相等的两个直角三角形全等(HL)．1．(2013·铁岭)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是(A)A．5.5B．5C．4.5D．42．(2014·营口)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是A′，则∠AEA′的度数是(B)A．145°B．152°C．158°D．160°3．(2013·丹东)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E，BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是(D)A．14B．13C．12D．114．(2012·锦州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＋BC＝8.将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB，AC交于点D，F，连接BF，则△BCF的周长是(A)A．8B．16C．4D．105．(2014·盘锦)如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝4＋2，点D在AB上，点E在AC上，△ADE沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC，则A′B的长是__2__.三角形的三边关系【例1】(1)(2013·宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(D)A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4(2)(2013·德阳)如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是(A)A．5.5B．5C．4.5D．4【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.(2)一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格，请说明理由．解：延长BD交AC于E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°.同理∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°≠148°，∴这个零件不合格【点评】有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”．2．(1)(2013·宁夏)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于(C)A．44°B．60°C．67°D．77°(2)如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“＞”表示∠BPC，∠BDC，∠BAC之间的关系．解：∵∠BPC是△PCD的外角，∴∠BPC＞∠BDC，同理∠BDC＞∠BAC，∴∠BPC＞∠BDC＞∠BAC三角形的内角、外角的性质【例2】(1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝(D)A．50°B．40°C．20°D．10°2．(1)(2012·丽水)如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是(C)A．120°B．135°C．150°D．160°(2)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是(B)A．125°B．135°C．145°D．155°全等三角形判定的运用【例3】(1)(2014·深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF(C)A．AC∥DFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠ACB＝∠F第(1)题图第(2)题图(2)(2013·娄底)如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是__∠B＝∠C或AE＝AD__.(添加一个条件即可)【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．(1)(2013·绥化)如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件__AE＝CB__，使得△EAB≌△BCD.(2)(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.①从图中任找两组全等三角形；②从①中任选一组进行证明．解：①△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC，在△ABE和△CDF中，∠1＝∠2，∠ABE＝∠CDF，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(AAS)运用全等三角形的性质【例4】已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证：BE＋CF＞EF.证明：延长ED到M，使DM＝ED，连接CM，FM.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△EDB与△MDC中，BD＝DC，∠EDB＝∠CDM，ED＝DM，∴△EDB≌△MDC(SAS)，∴BE＝CM.在△FMC中，CF＋CM＞MF，又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM.∴CF＋CM＞EF，即CF＋BE＞EF【点评】利用中线加倍延长法，把BE，CF，EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证．【点评】此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化规律也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些问题会有所帮助．4．(2014·重庆)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE＝CF；(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ACF＝90°－45°＝45°，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°，∠CAF＋∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∠B＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF(2)①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝BH，∠BEH＝45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE，∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC②由题意得，∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，CM＝CM，AC＝CE，∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝12×45°＝22.5°，又∵∠DAE＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝12BC，在△ADE和△CDN中，∠DAE＝∠ECM，AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，