圆锥曲线的小题专项训练

圆锥曲线的小题椭圆的离心率1.【2017浙江，2】椭圆22194xy的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】试题分析：94533e，选B．2.【2017课标3，理10】已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为A．63B．33C．23D．13【答案】A【解析】试题分析：以线段12AA为直径的圆的圆心为坐标原点0,0，半径为ra，圆的方程为222xya，直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：222abdaab，整理可得223ab，即222223,23aacac，从而22223cea，椭圆的离心率2633cea，故选A.【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m1)与双曲线C2：–y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21【答案】A【解析】则很容易出现错误。4.【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．5.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是.【答案】【解析】由题意得，因此考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.双曲线的离心率1.【2017课标II，理9】若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．233【答案】A【解析】即：22243cac，整理可得：224ca,双曲线的离心率2242cea。故选A。【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。2..【2016高考新课标2理数】已知12,FF是双曲线2222:1xyEab的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MFF,则E的离心率为（）（A）2（B）32（C）3（D）2【答案】A【解析】试题分析：因为1MF垂直于x轴，所以2212,2bbMFMFaaa，因为211sin3MFF，即2122132bMFabMFaa，化简得ba，故双曲线离心率12bea.选A.考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．3.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5B．2C．3D．2【答案】D【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．4.【2017课标1，理】已知双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.【答案】233【解析】试题分析：如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线byxa上的点，且(,0)Aa，AMANb而APMN，所以30PAN，点(,0)Aa到直线byxa的距离22||1bAPba在RtPAN中，cosPAPANNA代入计算得223ab，即3ab由222cab得2cb所以22333cbeab.【考点】双曲线的简单性质.5.【2017北京，理9】若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=_________.【答案】26.【2016高考山东理数】已知双曲线E：22221xyab（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.【答案】2【解析】试题分析：假设点A在第一象限，点B在第二象限，则2bA(c,)a，2bB(c,)a，所以22b|AB|a，|BC|2c，由2AB3BC，222cab得离心率e2或1e2（舍去），所以E的离心率为2.考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.7.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线22122:10,0xyCabab的渐近线与抛物线22:20Cxpyp交于点,,OAB，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为.【答案】32【解析】设OA所在的直线方程为byxa,则OB所在的直线方程为byxa,解方程组22byxaxpy得：2222pbxapbya，所以点A的坐标为2222,pbpbaa,抛物线的焦点F的坐标为:0,2p.因为F是ABC的垂心，所以1OBAFkk,所以，2222252124pbpbbapbaaa.所以，2222293142cbeeaa.8.【2015湖南理13】设F是双曲线C：22221xyab的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.【答案】5.【解析】试题分析：根据对称性，不妨设)0,(cF，短轴端点为),0(b，从而可知点)2,(bc在双曲线上，∴5142222acebbac.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222bac，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.抛物线1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)AxyBxyDxyExy，直线1l方程为1(1)ykx联立方程214(1)yxykx得2222111240kxkxxk∴21122124kxxk212124kk同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kxxk由抛物线定义可知1234||||2ABDExxxxp221222222212121224244416482816kkkkkkkk当且仅当121kk（或1）时，取得等号.【考点】抛物线的简单性质2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为()（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，，，故选C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()（A）33（B）23（C）22（D）1【答案】C【解析】试题分析：设22,2,,PptptMxy（不妨设0t），则22,2.2pFPptpt由已知得13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】考点：抛物线的性质。【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）（A）13，（B）14，（C）23，（D）24，【答案】D【解析】显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.设11221200(,),(,),,(,)AxyBxyxxMxy，则21122244yxyx，相减得121212()()4()yyyyxx.由于12xx，所以12121222yyyyxx，即02ky.圆心为(5,0)C，由CMAB得000001,55ykkyxx，所以0025,3xx，即点M必在直线3x上.将3x代入24yx得2012,2323yy.因为点M在圆22250xyrr上，所以22222000(5),412416xyrry.又2044y（由于斜率不存在，故00y，所以不取等号），所