高等光学教程-第2章参考答案

第二章干涉理论基础和干涉仪2.1用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为633nm，其谱线宽度为104nm，光电接收元件的灵敏度可达1/10个条纹，问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？解答：设测长精度为l，则l由探测器接受灵敏度10N所决定，Nl2m032.02Nl（32nm）一次测长量程Ml由相干长度cl所决定，cMll2mllcM2212122.2雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色，解释为什么油膜较厚时彩色消失。解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。2.3计算下列光的相干长度(1)高压汞灯的绿线，546.15nmnm(2)HeNe激光器发出的光，6331nmMHz解答：计算相干长度（1）m6.592cL（2）300mccL2.4在杨氏双缝实验中（1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为1:2，求产生的干涉条纹可见度。（2）若以直径为0.1mm的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm，双缝必须与灯丝相距多远？设=550nm解答：（1）cos2220000IIIII223V（2）由(2-104)式dbP00dPb182.0bM2.5图p2-5所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p，光源波长为5893A，针孔P1、P2大小相同，相距为d，Z0=1m，Z1=1m（1）当两孔P1、P2相距d=2mm时，计算光源的宽度由p=0增大到0.1mm时观察屏上可见度变化范围。（2）设p=0.2mm，Z0、Z1不变，改变P1P2之间的孔距d，当可见度第一次为0时d=?（3）仍设p=0.2mm，若d=3mm，01Zm.求0面上z轴附近的可见度函数。图p2-5解答：（1）由(2-106)式000sinsin0.82pdZpdVcpdZZ（2）由(2-107)式02.95Zdpmm（3）3001076.419.319.3sinsinZpdZpdV2.6有两束振幅相等的平行光，设它们相干，在原点处这两束光的初相位02010，偏振方向均垂直于xoy平面，这两束光的入射方向与x轴的夹角大小相等（如图p2-6所示），对称地斜射在记录面yoz上，光波波长为633nm。(1)作出yoz平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。(2)当两束光的夹角10和30时，求yoz平面上干涉条纹的间距和空间频率。(3)设置于yoz平面上记录面感光物质的空间分辨率为2000条/mm，若要记录干涉条纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角最大不能超过多少度。图p2-6-1解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距sin2d（1）在yoz平面上干涉条纹的大致形状如图p2-6-2所示。图p2-6-2（2）两光束夹角0110时，51，110.633m3.63m2sin2sin5d，111276fd条/mm两光束夹角0230时，215，220.633m1.22m2sin2sin15d，221820fd条/mm（3）由120002sin2mm和633nm计算得到078.52.7如图p2-7所示，三束相干平行光传播方向均与xz平面平行，与z轴夹角分别为、0、。光波波长为，振幅之比1:2:1::321AAA。设它们的偏振方向均垂直于xz平面，在原点o处的初相位0302010。求在0z的平面上(1)合成振幅分布(2)光强分布(3)条纹间距图p2-7解答：（1）三束光在xoy平面上的复振幅分布分别为)sinexp(),(2),()sinexp(),(321jkxAyxAyxjkxAyxUUU总的复振幅分布)sincos(12),(321kxAyxUUUU（2）在xoy平面上光强分布222)sincos(14),(),(kxAyxyxIU（3）条纹间距sin2kx2.8如图p2-8所示，S为一单色点光源，P1、P2为大小相同的小孔，孔径间距为d，透镜的半径为a，焦距为f，P1、P2关于z轴对称。（1）若在观察平面上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？（2）当观察屏的位置由Z=0开始增大时，求面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条纹总数与Z的关系。图p2-8-1解答：图p2-8-2由P1P2点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与z轴的夹角大小为，两束光重叠区域z坐标的最大值为0Z。当观察屏由0z开始向右移动时屏上干涉区域的横向宽度为X。（1）2/122)4(sinfdd条纹垂直于纸面，间距2/122)4(2sin2fddl（2）daffdaaZ22tg0增至0zZ时条纹消失，由0012XZzaZ当0z0Z时，条纹的总宽度002()2ZzadXazZf条纹总数22221/222(2)4(4)2dazXdafdzfNlfdfdfd2.9在图P2-9所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以45角入射。对于以下两种情况，求电能密度的时间平均值(1)入射光的偏振方向垂直于入射面；(2)入射光的偏振方向平行于入射面；(3)以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。当图中乳胶膜与镜M成角时，求乳胶膜F上条纹的间距。图p2-9维纳驻波实验解答：（1）入射光的偏振方向垂直于入射面时0)(//0iE，在入射角45时由（2-41）式给出0222exp22sin20)(0ziyxEkxtjkzEEE所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿z方向是周期变化的。由（1-81）式，电能密度的时间平均值kzEnni22sin)Re(4)Re(4122)(020*20*EEDE结果与坐标z有关，与坐标x、y无关。（2）入射光的偏振方向平行于入射面时，0)(0iE，在入射角45时，由（2-41）式给出kxtjkzEEEkxtjkzEEizyix22exp22cos20222exp22sin2)(//0)(//0由（1-81）式电能密度的时间平均值2)(//020**20*20*2)(4)Re(4)Re(41izzxxEnEEEEnnEEDE经时间平均后电能密度与z无关。（3）比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时，与z无关因而感光乳胶在曝光、显影后变黑是均匀的。当入射光的偏振方向垂直于入射面时，与z有关，与x、y无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。干涉条纹的间距22sin2d考虑到乳胶膜与镜M成角，在乳胶膜上得到的条纹的间距sin22sindD2.10在杨氏实验中光源为一双谱线点光源，发出波长为1和2的光，光强均为I0，双孔距离为d，孔所在的屏与观察屏的距离为D，求：（1）观察屏上条纹的可见度函数。（2）在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。（3）设1=5890A，2=5896A,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第一次为0时在观察屏上的位置。解答：（1）xDdIxI1012cos12)(，xDdIxI2022cos12)(xDdkxDdkIxIxIxIcoscos14)()()(021其中112k，222k图p2.10212kkk以及21kkk，)(xI表达式中有一个函数xDdkxDdkcoscos，它是周期函数Dkdxcos被一个xDkdcos的振幅包络所调制的结果(见图P2-10)，条纹的可见度xDdkxVcos)(（2）可见度变化周期dDkDdklT条纹间距为dDkDdkl22在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为N，则有222)(kkkdDkdDlxlNT式中12（N2）（3）由2xDdk，得23.482kdDxmm（可见度函数第一次为0）由2xDdk，得492Dxmdk（条纹第一次消失）2.11光源的光谱分布规律如图p2-11所示，图中以波数k作为横轴，波数的中心值为0k在光谱宽度k范围内F(k)不变，将从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度相遇时的偏振方向相同，光程差为S，试求：（1）两光束干涉后所得光强的表达式I(S)（2）干涉条纹的对比度V()S（3）对比度V的第一个零点所对应的S？图p2-11解答：两束光的每一束在dk范围内光的强度为kdkIII2021，Sk（1）)cos1(22cos2)(02121SkkdkIIIIIxdISkSkSkISkkdkIxIkkkk00220cos22sin1)cos1()(00（2）可见度0kksin2()2kSVkS（3）第一个零点处0)2sin(k，由这一关系式得到2||S2.12如图p2-12所示，一辐射波长范围为、中心波长为的准单色点光源S置于z轴上，与透镜La相距af（af为La的焦距）在与z轴相垂直的屏0上有两个长狭缝S1、S2，它们垂直于纸面对称放置，透镜Lb紧靠在0在Lb的后焦面上观察干涉条纹，当X由0增大时求条纹第一个零点所对应的X值。图p2-12-1解答：图p2-12-1方法一cLdsin，2dd2，dffXbb2方法二dS即222dkS，2d，bXf2bfd2.13图p2-13所示是一个由光波导制成的马赫—曾特尔干涉仪。它由三个部分组成：第I部分是对输入信号进行分路的耦合器，耦合器的长度为d；第II部分是长度相差L的两条波导，它们的折射率effnnn21；第III部分与第I部分的结构和功能相同，也是一个耦合器，其作用是将信号进行复合。以下讨论中不计光在波导中的传输损耗。耦合区长度为d的耦合器传输矩阵为ddjdjdMcouplercossinsincos式中为常数。图p2-13中第II部分的传输矩阵为2exp002expIILjkLjkM(1)若I、III部分的耦合器对每一路输入信号均具有分束并平分功率的功能，试证明它的传输矩阵为1121jjM(2)设频率附近有频率相差（）的两个单色光信号1,inE、2,inE分别从图p2-13中左端的两个入口处输入，在进入端口时它们的初始相位相同。若要全部光功率只在右端的同一个端口，如端口2探测到，求干涉仪两臂差应满足的条件。图p2-132.13解（1）对于一个平分功率的3dB耦合器来说，传输矩阵couplerM中4d，因此有1121couplerjjM（2）两个臂的输出光场out,1E和out,2E与输入场in,1E和in,2E的关系为2,in1,in2,out1,outEEMEE（P2.13-1）式中