第二讲张量矩阵

1第二讲晶体物理常数的张量矩阵ƒ晶体结构及其对称性（简介）ƒ晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法ƒ张量元素的坐标变换及其简化研究晶体物理性质的数学工具（习题1.1）第二讲晶体物理常数的张量矩阵2一、晶体结构及其对称性（简介）晶体结构：ƒ晶体：原子按一定规则周期性重复排列ƒ点阵：重复排列的原子用“点”表示ƒ晶胞：周期重复的最小基本（结构）单位ƒ布喇菲点阵：根据空间对称性，可以有14种点阵，称布喇菲点阵，或称14种晶胞ƒ14种晶胞分为7个晶系：三斜、单斜、正交（斜方）、正方（四角）、立方、三角、六角ƒ布喇菲点阵P.5,图1.1第二讲晶体物理常数的张量矩阵3立方o90=====γβαcbao90===≠≠γβαcba正交（斜方）o90===≠=γβαcba正方βγα≠==≠≠o90cba单斜三斜γβα≠≠≠≠cbaoo12090===≠=γβαcba六角oo12090≠====γβαcba三角布喇菲点阵第二讲晶体物理常数的张量矩阵4晶体的对称性：对晶体实行某种适当的操作，晶体保持不变一、晶体结构及其对称性（简介）ƒ恒等操作（E）：绕任何轴旋转0或2π角度ƒn次旋转（Cn）：绕某轴转n次后回到原位如：某晶体，绕某周转120°后与原来重合，可转三次，该轴称为3次旋转轴，n=3，n可取1，2，3，4，6ƒ中心反演（I）：绕某个中心点，把坐标为r的点换到-r上ƒ镜象反演（σ）：以某个面为对称面ƒn次旋转反演（Sn）：进行n次旋转后，绕旋转轴的某个点再进行中心反演第二讲晶体物理常数的张量矩阵5一、晶体结构及其对称性（简介）点群ƒ一种晶体可以有多种对称操作，这些对称操作的集合称为“群”；ƒ各种点阵（晶体）拥有不同的对称性，因此，各种晶体可以用“点群”来表示；ƒ“点群”是晶体结构对称类型的一种标志方法，例：KDP晶体（KH2PO4）四角晶系，点群[001]4次旋转反演轴2[010]或[100]2次旋转轴m[110]对称面m244砷化镓晶体（GaAs）立方晶系，点群[100]4次旋转反演轴3[111]3次旋转轴m[110]对称面m344第二讲晶体物理常数的张量矩阵6ƒ晶体结构及其对称性（简介）ƒ晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法ƒ张量元素的坐标变换及其简化第二讲晶体物理常数的张量矩阵7二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法物理量ƒ标量：温度（T），质量（m）；只有大小，没有方向ƒ矢量：电场强度（E），电极化矢量（P）；有大小，有方向ƒ张量：什么是张量？如何表示？第二讲晶体物理常数的张量矩阵8二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法例1.P和E的关系在各向同性介质中，P和E同向EPoχε=PE线性关系，χ：比例常数，极化率或极化系数在各向异性介质中，P和E一般不同向若kjiP321PPP++=kjiE321EEE++=PE()()()333232131332322212123132121111EEEPEEEPEEEPoooχχχεχχχεχχχε++=++=++=有E的每一个分量对P的每一个分量都有贡献第二讲晶体物理常数的张量矩阵9二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法P和E的关系由9个常数，或一个物理量的9个分量来决定，这9个分量有规则地排列成一个3x3的矩阵⇒二阶张量，称为极化系数张量χχ简化表示法分量表示法jijoioEPχεε==EPχi（自由脚标）=1，2，3；j（哑脚标）=1，2，3哑脚标表示对它的全部可能值求和，但省去求和号不写矩阵表示法⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211321EEEPPPoχχχχχχχχχε()()()333232131332322212123132121111EEEPEEEPEEEPoooχχχεχχχεχχχε++=++=++=第二讲晶体物理常数的张量矩阵10二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法例2.强光情况下P和E的关系()LL+++=EEEEEEP)3()2()1(χχχεo其中第二项每式9项LLLL++=++=2232211311322222112112EEEEPEEEEPχχχχ3313322122111111EEEEEEPχχχ++=12121211121313131113EEEEEEEEχχχχ++++2313232123EEEEχχ++第二讲晶体物理常数的张量矩阵11二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法分量表达式kjijkoiEEPχε=i,j,k=1,2,3j,k从1-3求和•两个相同或不相同的矢量并列，，不是相乘，也不是点积，这两个矢量分别经过与发生关系，称作“并矢”；•极化系数有3×9=27个分量，联系一个向量和一个并矢，是一个三阶张量)2(χEEP)2(χ第二讲晶体物理常数的张量矩阵12二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法简化矩阵表示：并矢中互换位置不影响结果，后6项两两相同kjEE⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213132232221312313323333322311212213223233222211112113123133122111321222EEEEEEEEEPPPoχχχχχχχχχχχχχχχχχχε自由脚标不动，哑脚标合并654321332211122113312332161514131211χχχχχχ27个分量只有18个独立第二讲晶体物理常数的张量矩阵13二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡654321363534333231262524232221161514131211321FFFFFFPPPoχχχχχχχχχχχχχχχχχχεννχεFPioi=简化矩阵表达式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡213132232221222EEEEEEEEE分量表达式F和E的关系()jkkjjkEEEEF+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=δν211⎩⎨⎧≠==kjkjjk01δ后面三项各代表两项之和第二讲晶体物理常数的张量矩阵14二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法例3.应力（二阶张量）jkijkidDσ=电位移矢量压电系数（三阶张量）压电系数联系一个二阶张量和一个向量，也是一个三阶张量应力张量是一个对称张量：kjjkσσ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡×=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡65432132163σσσσσσDDDννσiidD=或者()kjjkjkσσδσν+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=211应用同样的缩写规则：第二讲晶体物理常数的张量矩阵15二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法例4.kijkijEbγ=∆对称二阶张量（3x3)三阶张量(9x3)矢量(3x1)ijb∆：相对介电抗渗张量的增量ijkγ：电光系数张量缩写：µ⇒ijkkEbµµγ=∆1×66×33×1思考：ijb∆与µb∆各分量的关系是什么？()?211kjjkjkσσδσν+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=第二讲晶体物理常数的张量矩阵16二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法例5.lkijklijEESb=∆对称二阶张量（3×3）四阶张量（9×9）并矢（9）缩写后：νµνµFSb=∆1×66×66×1的关系是什么？的关系是什么？思考：µb∆和ijb∆νF和lkEE例6.klijklijSσλ=缩写后：νµνµσλ=S第二讲晶体物理常数的张量矩阵17二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法张量ƒ张量是个物理量，在直角坐标系中用若干分量来表示；ƒ联系两个矢量的是一个二阶张量，二阶张量有9个分量，可以表示成3×3的矩阵；ƒ联系一个矢量和一个并矢或一个矢量和一个二阶张量的是一个三阶张量，三阶张量有27个分量，缩写后可表示成3×6或6×3矩阵；ƒ联系二个二阶张量或一个二阶张量和一个并矢的是四阶张量，四阶张量有81个分量，缩写后可表示成6×6矩阵；ƒ推广：只有三个分量的矢量是一阶张量；只有一个分量的标量是零阶张量。第二讲晶体物理常数的张量矩阵18ƒ晶体结构及其对称性（简介）ƒ晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法ƒ张量元素的坐标变换及其简化第二讲晶体物理常数的张量矩阵19三、张量元素的坐标变换及其简化矢量的坐标变换：直角坐标系中新坐标与老坐标的关系：()321',','xxx()321,,xxx333232131332322212123132121111'''xaxaxaxxaxaxaxxaxaxax++=++=++=[]a是由三个正交单位矢量构成的变换矩阵，可以证明：[][]Taa=−1分量表达式：或：jjiijijixaxxax''==坐标乘积的变换：只有代数意义，不考虑几何意义lkljkijilkjlikjixxaaxxxxaaxx''''==第二讲晶体物理常数的张量矩阵20三、张量元素的坐标变换及其简化张量元素的坐标变换：设有两个矢量p和q，经过张量T联系在旧坐标系中：在新坐标系中：jijijijiqTpqTp'''==问：和之间的关系？ijTijT'第二讲晶体物理常数的张量矩阵21三、张量元素的坐标变换及其简化推导：kikipap='p的分量从旧坐标换成新坐标lklkqTp=旧坐标系中p、q的关系jjllqaq'=q的分量从新坐标换成旧坐标jjlklikiqaTap''=那么：kljlikijTaaT='有：lkljkijilkjlikjixxaaxxxxaaxx''''==klljkiijTaaT'=同理可证：张量矩阵元素的坐标变换同矢量坐标乘积的变换第二讲晶体物理常数的张量矩阵22三、张量元素的坐标变换及其简化利用坐标变换对张量元素进行简化根据晶体的对称性，对晶体进行某些对称操作，张量元素应保持不变。ijkijkdd='由坐标变换：lmnknjmilijkdaaad='第二讲晶体物理常数的张量矩阵23三、张量元素的坐标变换及其简化例1.单斜晶体，x2方向有2度旋转轴，操作：绕x2转180°332211',','xxxxxxx3x’1x2(x’2)x’3x1−→→−→坐标变换：()11131111111'''xxxxxxd−=对0'111111111111=⇒=−=dddd有()21122111121'''xxxxxxd−=对0'112112112112≠⇒==dddd有凡脚标1和3出现奇数次的元素为零第二讲晶体物理常数的张量矩阵24三、张量元素的坐标变换及其简化凡脚标1和3出现奇数次的元素为零321312331313332323333322311221212231213232223233222211121112131113132123133122111ddddddddddddddddddddddddddd第二讲晶体物理常数的张量矩阵25三、张量元素的坐标变换及其简化例2.KDP晶体，，x1、x2方向均有2度旋转轴操作：在上例基础上，绕x1转180°m24332211',','xxxxxx−→−→→坐标变换：在上例的基础上，凡脚标2、3出现奇数次的元素为零321312331313332323333322311221212231213232223233222211121112131113132123133122111ddddddddddddddddddddddddddd第二讲晶体物理常数的张量矩阵26三、张量元素的坐标变换及其简化再考虑x3方向的操作：绕x3转90°后再中心反演坐标变换：4S331221',','xxxxxx−→→−→321312331313332323333322311221212231213232223233222211121112131113132123133122111ddddddddddddddddddddddddddd⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡361414ddd缩写后，只剩三个独立元素第二讲晶体物理常数的张量矩阵27三、张量元素的坐标变换及其简化例3.GaAs晶体，，在KDP晶体的基础上考虑[1,1,1]方向的C3操作：得到d14=d36，只剩下一个独立