通信系统理论工具2.ppt

第三章通信系统的理论工具二——随机过程B-ISDN结束放映学习目录学习要求内容简介内容简介返回结束——随机过程是研究一切随机现象随时间演变过程的数学工具通信系统中的信号与噪声都可看做随时间变化的随机过程。例如信源发送的信号必须具有一定的不可预测性；信号在传输过程中遇到各种噪声干扰等都具有随机性。因此通信中的信源、噪声以及信号传输中的特定线性都需要用随机过程模型来描述。——本章主要介绍随机过程的基本概念和数字特征基础，重点研究通信系统中常见的几种重要的随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况。3.1随机信号的性质3.2随机过程的基本概念3.3平稳随机过程3.4高斯随机过程3.5窄带随机过程3.6通信系统中常见的噪声3.7随机过程通过线性系统学习目录2.7随机过程及其在通信中的应用通信系统中很多需要进行分析的信号都是随机信号，所以用以描述随机现象的概率论、随机过程、数理统计等随机数学立论成了必不可少的理论工具。一、随机变量的概率分布随机变量：若某种试验A的随机结果用X表示，则称X为随机变量，并设其取值为x。随机变量的分布函数：随机变量X取值不超过某个数x的概率P(X≤x)，记为FX(x)=P(X≤x)，称此函数为随机变量X的分布函数。分布函数的性质(1)当x→-∞时，FX(x)→0，记为：FX(-∞)=0；(2)当x→+∞时，FX(x)→1，记为：FX(+∞)=1；(3)设x1x2，则有：FX(x1)≤FX(x2)3.1随机信号的性质二、随机变量的概率密度连续随机变量概率密度：随机变量X在任何区间(a,b]上取值的概率可写成：(1)(2)分布函数FX(x)是单调递增函数，即；(3)任何随机变量的概率密度曲线下的面积恒等于1。dxxdFxpXX)()(概率密度是分布函数的导数baXdxxpbXaP)()()()()(xXPdyypxFxXX0)(xpX3.1随机信号的性质1dxxpX)(3.1随机信号的性质离散随机变量概率密度：对于离散随机变量，可以将其分布函数表示为：离散随机变量概率密度由其分布函数FX(x)求导而得。它表示当x≠xi时，pX(x)=0；当x=xi时，pX(x)=∞。niiiXxxupxF1)()(niiiXxxpxp1)()(三、随机变量的数字特征数学期望：对于连续随机变量，其数学期望定义为：数学期望的性质：(1)若随机变量X1,X2,…Xn的数学期望存在，且各量之和的数学期望也存在，则有：(2)常量与随机变量之和的数学期望：(3)若随机变量X和Y相互独立，则XdxxxpXEX)()(又称统计平均值)()()()(nnXEXEXEXXXE2121)()(XECXCE)()()(YEXEXYE3.1随机信号的性质三、随机变量的数字特征方差：是随机变量X与其数学期望之差的平方的数学期望对于离散随机变量而言，上述方差的定义可写成：对于连续随机变量而言，方差的定义：])[()(22XXEXDXσX称为标准偏差X3.1随机信号的性质2222222222XXXXXXXXXE])[(iiipXxXD2)()(pi是X取值为xi的概率dxxpXxXDX)()()(23.1随机信号的性质方差的性质(1)常量的方差等于0，即D(C)=0；(2)设D(X)存在，C为常量，则：(3)设D(X)和D(Y)都存在，且相互独立，则对于多个互相独立的随机变量，不难证明：)()(XDCXD)()(2XDCCXD)()()(YDXDYXD)()()()(nnXDXDXDXXXD2121定义：设E={e}是一个样本空间，若对每一时刻t∈T，都有定义在E上的随机变量X(t,e)与之对应，则称依赖t的一组随机变量{X(t,e),t∈T,e∈E}是一个随机过程，常简化为{X(t),t∈T}。通信系统中的信号和噪声都是随机的。一、随机过程的定义数学期望：方差自相关函数自相关函数表示在两个时刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程度。)(),()]([iXiitmdxtxxptXE2)]}([)({)]([iiitXEtXEtXD)]()([),(2121tXtXEttRX3.2随机过程的基本概念一维分布一维概率分布函数一维概率密度函数一维概率函数二、随机过程的概率分布(,)[()]iiFxtPXtx[()]iiipPXtx3.2随机过程的基本概念xtxFtxpii),(),(二维分布二维概率分布函数二维概率密度函数12121122(,;,){(),()}FxxttPXtxXtx相互独立),(),(),;,(2211212121txFtxFttxxFXX3.2随机过程的基本概念21212122121xxttxxFttxxp),;,(),;,(多维分布多维概率分布函数多维概率密度函数12121122(,,,;,,,)[(),(),,()]nnnnnFxxxtttPXtxXtxXtx3.2随机过程的基本概念nnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxp2121212121),...,,;,...,,(),...,,;,...,,(两个时刻抽样点的混合矩自相关函数互相关函数自协方差函数互协方差函数121212121212(,)[()()](,;,)XRttEXtXtxxfxxttdxdx121212(,)[()()](,;,)XYRttEXtYtxyfxyttdxdy1211221212(,)()()()()(,)()()XXXXxxCttEXtmtXtmtRttmtmt1211221212(,)()()()()(,)()()XYXYXYXYCttEXtmtYtmtRttmtmt3.2随机过程的基本概念独立、不相关和正交的关系相互独立正交互不相关1212(,;,)(,)(,)XYfxyttfxtfyt12[()()]0EXtYt12121212(,)cov[(),()](,)()()0XYXYXYCttXtYtRttmtmt结论：相互独立必定互不相关，反之不成立。3.2随机过程的基本概念),(),(),;,(2121tyFtxFttyxF四、随机过程的基本分类按统计特性分类按记忆特性分类平稳随机过程和非平稳随机过程纯粹随机过程马尔可夫过程独立增量过程112211(,;,;;,)(,)nnnnjjjFxtxtxtFxt1122221111(,|,;,;;,;,)(,|,)nnnnnnnnnnnnFxtxtxtxtxtFxtxt11()()(,)iiiiXtXtXtt相互独立3.2随机过程的基本概念按概率分布分类按功率谱特性分类高斯随机过程和非高斯随机过程白噪声过程和有色噪声过程3.2随机过程的基本概念3.3平稳随机过程平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程，在通信领域中占有重要地位。若一个随机过程X(t)统计特性与时间起点无关，则称此随机过程是在严格意义上的平稳随机过程，简称严格平稳随机过程：),...,,;,...,,(),...,,;,...,,(nnnnnntttxxxptttxxxp21212121数学期望：方差自相关函数实际中，若同时满足随机过程的数学期望与t无关为常数；自相关函数只与时间间隔有关时，则称此随机过程为宽平稳随机过程。CmtXEX)]([CtXEtXEtXDX22)]}([)({)]([)()(),(2121XXXRttRttR平稳随机过程的自相关函数及其性质3.3平稳随机过程自相关函数：性质(1)—随机过程X(t)的平均功率(2)—随机过程X(t)的直流功率(3)(4)—随机过程X(t)的R(τ)在τ=0时取最大值。(5)—随机过程X(t)的交流功率)]()([)(tXtXERXPtXER)]([)0(2CtXER)]([)(2)()(RR)0()(RR2)()0(RR3.3平稳随机过程平稳随机过程的功率密度一个非周期确定的功率信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对于平稳随机过程同样成立，即平稳过程的功率谱密度PX(f)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换。deRfPjX)()(dfefPRjX)()(3.3平稳随机过程例3-1：某随机相位余弦波，其中A和ωc均为常数；θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。(1)求X(t)的自相关函数与功率谱密度；(2)讨论X(t)的各态历经性。0]sinsincos[cos2)sinsincos(cos221)cos()]([)(20202020dtdtAdttAdtAtXEtmcccccX注：各态历经性是平稳随机过程的统计平均值等于它的任意一次实现的时间平均值。解：(1)考察X(t)是否广义平稳，求其数学期望3.3平稳随机过程0)(cos221]2)(cos[2)(cos2]}2)(cos[)({cos2)]cos()cos([)]()([),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEtXtXEttRcccccccX(t)的自相关函数令t2-t1=τ，得故X(t)为广义平稳随机过程)()(cos2),(221RAttRc∴根据功率谱密度PX(f)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换：所以功率谱密度为：(2)求时间平均：3.3平稳随机过程)]()([)(cosccc)]()([2)(2ccXAP0)cos(1lim22TTcTdttATmcTTccTTcTTTccTAdttdtTAdttAtATRcos2})22cos(cos{2lim])(cos[)cos(1lim)(22222222∴计算得a=a,R(τ)=R(τ)，因此随机相位余弦是各态历经的。3.4高斯随机过程高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，如，常见的热噪声就是一种高斯过程。若一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示：]))((exp[)(),...,,;,...,,(//njnkkkkjjjjknnnXaxaxBBBtttxxxp11212122121212122])([)];([kkkkkatXEtXEa11121221112nnnnbbbbbbBkjkkjjjkatXatXEB]})(][)({[其中归一化协方差函数归一化协方差矩阵的行列式3.4高斯随机过程高斯随机过程的随机变量之间既互不相关，又相互独立。可仅研究一维高斯过程的性质。高斯随机过程性质(将pX(x)记为p(x))(1)p(x)对称与直线x=a，即p(a+x)=p(a-x)(2)p(x)在a点达到极大值，p(x)在区间(-∞,a)内单调上升，在区间(a,∞)内单调下降；在x→±∞时，p(x)→0。(3)(4)p(x)中，a表示分布中心，σ表示集中程度，p(x)图像会随着σ的减小而变高和变窄。当a=0,σ=1时，称p(x)为标准正态分布的密度函数。a21)(xfx0)2/(11)(dxxp]2/exp[21]2)(exp[21)(222xaxxp