高中数学北师大版选修2-2课件：3-反证法

1北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》§3反证法2一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。教学难点：正确理解、运用反证法。三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程3综合法特点：复习由因导果由已知结论分析法特点：执果索因即：由结果找条件倒推4思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？假设C没有撒谎,则C真;由A假,知B真.那么假设“C没有撒谎”不成立;则C必定是在撒谎.那么A假且B假;这与B假矛盾.推出矛盾.推翻假设.原命题成立.分析:由假设5反证法：①假设原命题不成立，②经过正确的推理,得出矛盾，③因此说明假设错误,④从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法反证法的基本步骤：四步得出矛盾的方法：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。6应用反证法的情形：(1)直接证明比较困难;(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;（3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样（4）结论为“唯一”之类的命题；7例1、已知a是整数，2能整除2a，求证：2能整除a.1)22(2144)12(2222mmmmma2a2a2a证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则，即是奇数。所以，2不能整除。这与”相矛盾。于是，“2不能整除a”已知“2能整除这个假设错误，故2能整除a.8例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则00PMQ。MPQ△PQMMPQPMQ0001809090PMQ这样的内角和。这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。9解题反思：•证明以上题时，你是怎么想到反证法的？•反设时应注意什么？•反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？10例3.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影．求证：H不可能是△SBC的垂心．ABCHDS•解题反思：证明该问题的关键是哪一步？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？11例4、已知a≠0，证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。12例5、求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。•解题反思：本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？13练习：课本14P练习1.归纳总结：1.哪些命题适宜用反证法加以证明？•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；•具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.142.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形.15作业：课本15P习题1-3：（3）、（4）五、教后反思：