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1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．2．了解反证法的思考过程、特点．3．理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．1．体会反证法的思考过程、特点，培养逆向思维能力．(重点)2．利用反证法证明．(难点、重点)3．反证法的假设．(易错点)§4反证法【课标要求】【核心扫描】在证明数学问题时，先假定成立，在这个前提下若推出的结果与、、矛盾，或与命题中的相矛盾，或与相矛盾，从而断定不可能成立，由此断定..成立，这种证明方法叫作反证法．自学导引1．反证法的定义命题结论的反面定义公理定理已知条件假定命题结论的反面命题的结论2．反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q―→导致逻辑矛盾―→“p且綈q”为假―→“若p则q”为真分析反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现几种情况？提示可能会出现以下三种情况：(1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾；(2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；(3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾．想一想：通过导出矛盾，归结为谬误而使命题得证．因此，这种反证法也叫归谬法．在反证法的应用中，其难点是如何引出矛盾，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：(1)假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾．(2)假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾．名师点睛1．反证法的特征2．反证法矛盾构设的几种情况(3)假设结论q不成立，经过推理论证得到了一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个概念结论显然矛盾．反证法主要适用于以下几种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只需研究一种或很少的几种情形．3．反证法的应用4．反证法的证题步骤设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结论不成立，将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾．题型一“否定”型命题【例1】[思路探索]假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，所以a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.本题为“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法．一般当题目中含有“不可能”、“都不”等否定性词语时，宜采用反证法证明．规律方法证明【训练1】用反证法证明：已知a，b均为有理数，且a和b都是无理数，求证：a＋b是无理数．证明假设a＋b为有理数，则(a＋b)(a－b)＝a－b.由a＞0，b＞0，得a＋b＞0.∴a－b＝a－ba＋b∵a、b为有理数，且a＋b为有理数，∴a－ba＋b为有理数，即a－b为有理数，∴(a＋b)＋(a－b)为有理数，即2a为有理数．从而a也应为有理数，这与已知a为无理数矛盾．∴a＋b一定为无理数．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以作一条已知直线的平行线．而“只有一条”可通过假设过点A有两条直线与直线a平行，由平行公理推出与假设矛盾．证明由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．题型二“唯一”型命题【例2】[思路探索]用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．规律方法已知两条相交直线a，b，求证：直线a，b有且只有一个交点．证明假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点．(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线a，b有且只有一个交点．【训练2】(12分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条拋物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法．题型三“至多”、“至少”型命题【例3】审题指导【解题流程】[规范解答]假设题设中的函数确定的三条拋物线都不与x轴有两个不同的交点．(2分)由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.(5分)同向不等式求和得：4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0(7分)∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0(8分)∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0(9分)∴a＝b＝c(10分)这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．(12分)常见的“结论词”与“反设词”【题后反思】原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是是p或qp且q反设词不都是不是綈p且綈q綈p或綈q已知a1＋a2＋a3＋a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明假设a1，a2，a3，a4都不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100.这与已知a1＋a2＋a3＋a4100矛盾，故假设不成立．所以，a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.【训练3】已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．误区警示用反证法证明时，忽略步骤致错【示例】[错解]假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0，解得－2＜p＜－12，方程x2－2x＋5－p2＝0的判别式Δ＝4(p2－4)，∵－2＜p＜－12，∴14＜p2＜4，∴Δ＜0.即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．利用反证法进行证明时，首先要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行推理，得到矛盾，从而证明原命题成立．即反证法必须严格按照“否定→推理→否定”的步骤进行．[正解]假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得p≥2或p≤－2，而由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0得－2＜p＜－12，二者矛盾，所以假设错误，从而原方程无实根．(1)应用反证法证题时必须先否定结论．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．