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推理与证明第一章§3反证法第一章课堂典例探究2课时作业4课前自主预习1课前自主预习了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．本节难点：应用反证法解决问题.间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法．_________就是一种常用的间接证明方法.间接证明反证法1.(1)概念：假定命题结论的___________在这个前提下，若推出的结果与____________________矛盾，或与命题中的________相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定_____________不可能成立，由此断定命题的结论成立．这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)．反证法反面成立．定义、公理、定理已知条件命题结论的反面(2)形式：由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设或与某个真命题矛盾，¬q为假，推出q为真．2．反证法的证题步骤包括以下三个步骤：(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立.1.用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)存真．也就是说，反证法是由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设或与某个真命题矛盾，¬q为假，推出q为真的方法．从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定是“若p则¬q”由此进行推理，如果发生矛盾，那么“若p则¬q”为假，因此可知“若p则q”为真．可以看出，反证法与证逆否命题是不同的．由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路．归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．2．适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)一些基本命题、定理．3．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“”；“≤”的反面为“”；“”的反面为“≤”；“”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“及”．4．一些常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q非p且非q至多有n个至少有n＋1个p且q非p或非q1.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案]B[解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．2．反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．[答案]③①②[解析]考查反证法的证题步骤．3．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．[答案]x＝a或x＝b[解析]对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[分析]bc≠0的否定形式为bc＝0，包括①b＝0，c＝0；②b＝0，c≠0；③b≠0，c＝0三种情况，要注意分类讨论．反证法证明“否定性”命题[证明]假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实根相矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实数根相矛盾．综上所述，可知bc≠0.[点评]结论中出现“不”、“不是”、“不存在”、“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理．此时用反证法更方便．已知a≠0，求证：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．[证明]假设方程ax＝b(a≠0)至少存在两个实根，不妨设其中的实根分别为x1，x2，且x1≠x2，则ax1＝b，ax2＝b，ax1＝ax2，ax1－ax2＝0，∴a(x1－x2)＝0.又∵x1≠x2，x1－x2≠0，∴a＝0，这与已知a≠0矛盾，故假设不成立，原命题成立．“至少”“至多”型命题已知f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求证：|f(1)|，|f(2)|中至少有一个不小于12.[分析]“|f(1)|，|f(2)|中至少有一个不小于12”包括三种情况，由条件不易分别证明这三种情况，考虑从反面“|f(1)|，|f(2)|全部小于12”证明．[证明]假设|f(1)|，|f(2)|中没有一个大于或等于12，即|f(1)|，|f(2)|全部小于12，则|f(1)|＝|2a＋1|12①，|f(2)|＝|3a＋4|12②解①②得a不存在．这与a∈R矛盾，故假设错误．．．．，即原结论成立．[点评]该命题中有“至少……”，直接方法很难证明，故可采用反证法．此题解法揭示：当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.因为π－30，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故假设错误．因此a，b，c中至少有一个大于0.如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径．求证：AB，CD不能互相平分．反证法在几何中的应用[分析]本题要证明的是AB、CD能不能互相平分，能与不能二者必居其一．由于不易证明“AB、CD不能互相平分”，不妨假设“AB、CD能互相平分”，以此为出发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论．[证明]假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°.因此∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，所以对角线AB，CD均为直径，这与已知中“AB，CD不全为直径”相矛盾．因此AB，CD不能互相平分．[点评]用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立．如图所示，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，连接AB.因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC．又因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.又因为AC∩AB＝A，所以SO⊥面SAB.所以平面SAB∥底面圆O.这显然不成立，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直.反证法在数列中的应用证明：1，3，2不能为同一等差数列的三项．[证明]假设1，3，2是某一等差数列的三项，且这一等差数列的公差为d，则1＝3－md①，2＝3＋nd②，其中m，n为某两个正整数，由①②消去d，得n＋2m＝(n＋m)3.因为n＋2m为有理数，而(n＋m)3为无理数，所以n＋2m≠(n＋m)3.推出矛盾，故假设错误．所以1，3，2不能为同一等差数列的三项．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．[证明]假设{cn}为等比数列，则当n≥2时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)，所以a2n＋2anbn＋b2n＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1.设{an}，{bn}的公比分别为p，q(p≠q)．因为a2n＝an－1·an＋1，b2n＝bn－1·bn＋1，所以2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝anp·bn·q＋bnq·an·p，所以2＝qp＋pq.因为当p≠q时，qp＋pq2或qp＋pq≤－2，与qp＋pq＝2矛盾，所以{cn}不是等比数列．[点评]当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便.已知a＋b＋c0，abc0，ab＋bc＋ca0，求证：a，b，c都大于0.反证法的综合应用[分析][证明]假设a0不成立，则a≤0.分两种情况证明：(1)当a0时，∵abc0，∴bc0.又∵a＋b＋c0，∴b＋c－a0，a(b＋c)0.∴ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc0，与已知矛盾．(2)当a＝0时，abc＝0，与abc0矛盾，由以上分析可知，假设不成立．因此，a0.同理可得，b0，c0.综上a，b，c都大于0.[点评]分类讨论的关键是要全面，考虑周到，不能遗漏．比如，本题“a0”的反面是“a≤0”，即有两种情况“a0”或“a＝0”，分类讨论时，不能遗漏其中任何一种情况．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．[分析]本题直接证明不易找思路，我们用间接证明的方法：反证法．[证明]假设a不是偶数，则a为奇数．设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.∵4(m2＋m)是偶数，∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾．∴a一定是偶数.用反证法证明：若ab0，则ab.[误解]假设a不大于b，即ab.又因为a0，b0，所以ab⇒(a)2(b)2，即ab，这与已知矛盾．所以假设不成立，原命题正确．[点评]否定结论时，没有全面否定．[正解]假设a不大于b，即ab或a＝b.因为a0，b0，所以ab⇒(a)2(b)2⇒ab.又由a＝b⇒a＝b.这些都与已知条件ab0矛盾，所以ab.已知实数p满足不等式(2x＋1)(x＋2)0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．[误解]假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，由已知实数p满足不等式(2x＋1)(x＋2)0，解得－2p－12，由方程x2－2x＋5－p2＝0得其判别式Δ＝4(p2－4)．因为－2p－12，所以14p24，所以Δ0.即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．[正解]假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，则该方程的判别式Δ＝4－4(5