有效数学教学的课例研究

有效数学教学的课例研究顾泠沅上海市教育科学研究院西方研究者认为，中国学习者的数学学习环境存在许多缺陷，尤其在教学方式上，属于典型的“被动灌输”和“机械训练”单一讲授的上课方式，教师灌输，学生被动接受班机规模大，一般超过40人，多至50人以上低认知水平的频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重负担Ginsberg（1992）发表报告认为，中国的教学特点是“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者”从学生学业评价的角度来看，中国中小学教学具有明显的优势海外的中国学生一般取得比其实际智商预期更好的成就IEA（1992）的研究数据表明，中国大陆获得第一IMO（国际数学奥林匹克竞赛）中，中国队一贯名列前茅Stevenson（1992）在《学习的差距》中揭示，美国学生的学习成绩明显低于中国甚至东亚学生，从1到11年级，这种差异明显存在引言：从“中国人数学学习的悖论”谈起教学水平教学方式教学内容记忆解释性理解探究性理解活动式接受式教学任务的三维结构一、有效教学的两种方式已有知识新的知识建立联系合理实质奥苏贝尔：知识固着点的性质换一个形式检验我国教师：合适“潜在距离”的严格的“变式训练”铺垫是成功的奥秘是有效手段1.有意义的接受式教学(注重知识和技能的学习)有层次推进隐喻：游泳记忆、理解、探究三种水平七种变式课堂教学的脚手架理论？？理论（1）选题背景在数学教学中，学生要学习大量的性质定理、判定定理和公式等。以往的数学学习常常是老师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练。学生感到枯燥乏味。如何激发学生提出和论证命题的兴趣、如何让从简单到复杂的变式练习成为学生解题能力的练兵场，是日常数学教学中值得关注的问题。“（数学）早已广泛被人们承认为科学、工艺、商业和晋升各种专业的基础工具。这种目标会导致成人热衷于数学；但对于初步接触数学的幼龄学生，却是遥不可及。”（斯根普1971）案例：等腰三角形的判定（2）模式化的定理教学复习性质定理、给出判定命题师生进行思路分析通过论证得出定理应用定理做练习等腰三角形的两个底角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形写成已知求证的形式：已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=ACACB（3）用情境问题引发兴趣如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？学生的三种“补出”方法：只剩一个底角和一条底边①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明③“对折”（4）多种证法激活创造力三种常规的办法：两种创造性的证法：①作∠A的平分线，利用“角角边”②过A作BC边的垂线，利用“角角边”③作BC边上的中线，“边边角”不能证明④假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”ACB（5）用变式练习分步解决问题不断变换题目的条件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么结论？过O作直线EF∥BC。①图中有几个等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题)若∠B与∠C不相等。①图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论)直观看到一个，简单应用判定定理必须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。（6）变式教学效果的试验研究一位专家曾提出质疑，上述最后一题是“总复习”中的难题，在“等腰三角形的判定”第一节课中作为练习，是否超越了学生的学习能力？事实上，运用变式作铺垫，可以明显提高练习的效率。后来专家们在普通学生的班中做了试验，同样取得很好效果。我们曾对利用变式图形提高几何教学效果的经验，开展重复试验或轮换试验，结果差别具有显著或极其显著意义。2.有意义的活动式教学（注重学生的气质和能力）已有“工具”（线索、细节、部分）新的“任务”（问题解决、项目实施）参与度完成度自行整合开展尝试探究活动是促进学生主动学习的重要策略“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”（《礼记·学记》）最有效的学习方法应是让学生在体验和创造的过程中学习有理数减法：（+2）-（-3）=+5（-2）-（+3）=-5（-2）-（-5）=+3……例.“有理数加减法”课（探索法则）（-3）+（+5）=+2……正数与负数相加：（+5）+（-3）=+2（-5）+（+3）=-2……形成一种新型的课程实施形态如课题研究、问题解决活动、项目学习等等，构成更鲜明的特征：①自主性（主动参与，主体地位，自我设计、组织和评价）②综合性（涉及各科各育，教育与锻炼）③评价的过程性（包括外显行为、内隐心理）3.学习质量的两极张力提高学生的学习质量是根本（两个源头、两种方式）接受式活动式源头(站在前人的肩膀上）赫尔巴特：《普通教育学》①引起学生对新知识的兴趣②讲授新教材③在新旧知识之间建立联系④得出结论、定义或法则⑤应用知识解答问题或做练习杜威：《民主主义与教育》①给学生提供学习的情境②通过观察提出问题③作出解决问题的假设④推理得出解决问题的方法⑤验证得出的结果流变（成为连续谱）听讲学习——启发式学习——讨论式学习——问题解决学习——探究学习——项目学习——社会服务学习等等两种教学方式的分析讨论接受式活动式现象讨论◇至今广泛采用，还有发展。◇受到现代派猛烈抨击，它对学习的本意有哪些理解上的偏颇？对发展思维有哪些局限？◇“离开了杜威，教育史是一段空白”，“似曾相识燕归来”。◇杜威及其后继者的实践为什么干不下去？毛病出在哪里？得失分析◇有利于教师传授知识，进行技能技巧训练。◇不利于学生独创的学习。◇有利于学生发挥主体性和探索精神。◇不利于学生学习系统知识。两种学习方式在“提高学习质量”的主题下，我们采纳“合理安排、取长补短”的策略，让两方的对峙变为改革过程中的两极张力当前重在拒绝机械接受、开发主动探究的学习方式，教师们有引人注目的创造，如多角度理解、有层次推进、过程性变式、深度参与的体验等真理在两个极端之间（两极张力）“学而时习之，不亦说乎”二、教学水平三分类水平分类基本特点注意与建议记忆记住事实和操作程序过时，不符合今天需要迫于考试影响与教学内部问题，还有较强势力不能一概否定，要有合理的看法解释教师讲解，学生领会应予提倡与发展，争取更多教学工作达到这个水平是教学的重要环节，但有不足：把学生往一条路上引，束缚思维，不利创造充分发挥表述优势的基础上克服弊病探究学生投入，亲自探索应大力提倡，以适应未来与当今现代化建设的需要需遵循有意义活动式学习的规律，积极创造条件，如教师首先学会探究防止简单理解和形式化，有区别、分层次提出合理的要求1.符合中国数学课堂特征的三水平两个突出的问题值得引起关注问题之一许多本该达到解释水平的课，不少教师将此下降为记忆水平，“满堂灌”或“满堂问”（填空式问答，懂的要问、不懂的不问）；有的课把教学混同于学科习题机械训练和简单强化，思考力水平明显下降。问题之二许多正在实验探究水平的课，教师常常通过解释或让学生记住最简捷的方法得出答案，“表面上像探究，实际上是讲解”，达不到学生亲自投入的思考力水平。高思考力水平的保持与下降保持1探究保持2解释记忆下降2下降1下降3高思考力水平得以保持有七个要素①给思维和推理“搭脚手架”；②为学生提供元认知方法；③示范高水平的操作行为；④维持对证明、解释或意义的强调；⑤任务建立在已有知识基础上；⑥在概念间建立联系；⑦适当的探索时间。〖资料〗•国际学习科学领域三句名言：听来的忘得快，看到的记得住，做过的才能会。•我国教师：营造追问风气，变被动学习为主动学习。高思考力水平下降的因素有六类①情境问题常规化（学生希望降低要求，教师包办代替）；②重点转移到追求答案的正确性与完整性，不注重意义、理解、概念获得等方面；③时间过多或过少；④课堂管理问题；⑤给予学生的任务不恰当（指向不明或学生缺乏兴趣）；⑥教师对学生低层次结果或过程迁就（如本来要求学生解释思考过程，却接受了学生不正确或不清晰的解释）。〖资料〗2.通过案例研究提高有效教学的水平教学水平的分类课堂观察（保持下降）探讨性对话案例表述——分析与检讨——反思与改进•课堂教学默会成份的显性化，成为可开发的教师学习资源小学数学“有余数的除法”7÷3＝2……1Freudenthal研究所的达朗其(JandeLange,1996)在ICME-8的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：81名家长出席学校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？第一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了摆桌子到形式计算的抽象；第三类学生套用现成算式去做。实际上，三类学生中只有第二类才真正体验到了“数学化”的含义。（1）选题背景案例1：“除法就是分豆子！”（2）原行为阶段①纠缠于区分等分除、包含除等枝节，未突出“有余数”这个要点②习惯于计算准确性的训练：3×()7，括号里最大能填几？未关注试商的实际意义③表面地寻找规律，学生都说“不知道”16÷5=3……117÷5=3……218÷5=3……319÷5=3……4余数(1、2、3、4)与除数(5)比较大小，得出余数小于除数关注自我的关键性事件：重点放在程式化训练，忘记了对小学生来说“数学就是生活”。实物被除数除数商余数形式化寻找意义概念：余数概念：余数过程：试商过程：试商规律：余数小于除数规律：余数小于除数算式273617÷3=2……1不能分了？余下的豆子数余下的豆子数盘子里试着放几颗盘子里试着放几颗余下的豆子数比盘子数少余下的豆子数比盘子数少…………….………..……...……………………（3）新设计阶段关注理念的关键性事件：运用儿童生活经验，“除法就是分豆子”，让学生真实地体验“数学化”的含义。（4）新行为阶段困难做除法要“拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏。教师的创造在实物与算式间设置一个中介——放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。关注获得的关键性事件：学生不会形式化，采用“脑中分豆子”，才能解决从实物到符号的过渡。“分豆子”与布鲁纳的认知理论实物操作表象操作符号操作分豆子脑中分豆子算式运算（具体）（半具体、半抽象）（抽象）寻找规律数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。（5）实践创造与理论学习让学生发现“余数比除数小”师生语言互动时间分布表改进前(423″)改进后(410″)弗兰德师生语言互动分类时间(″)百分比(%)合计时间(″)百分比(%)合计①接纳学生感觉51.2163.9②赞许学生行为225.2235.6回应③接受学生观点122.8112.7中立④问学生问题235.47217.6⑤演讲4811.3256.1⑥指示或命令317.300教师讲自发⑦批评或辩护权威行为255.9166″39.2%00147″35.9%回应⑧回答老师的提问或按老师要求表述6615.6338.1学生讲自发⑨主动表达自己的观点或向老师提出问题4310.2109″25.8%9523.2128″31.2%静止中立⑩静止或疑惑暂时停顿或不理解337.87.8%000%小组讨论11527.227.2%13532.932.9%（6）课堂理念与行为发生改变师生语言互动状况及其理念与行为的改变课堂静止或不理解的时间⑩、教师指示或命令⑥、批评或辩护权威行为⑦，在改进课中下降为零；教师演讲⑤、学生按老师要求表述⑧，明显减少教师的提问④、学生主动表达自己的发现的语言⑨，在改进课中明显增加；教师接纳学生感觉的语言①，也有上升0510152025⑩⑥⑦⑤⑧④⑨③②①改进前改进后（%）（1）选题背景勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学