2.2.2反证法

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆2．2.2反证法金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆1．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．2．掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆反证法的定义：一般地，假设原命题________，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了__________，这样的证明方法称为反证法．原命题成立不成立矛盾金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆1．用反证法证明数学命题的一般步骤(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆2．反证法得出的矛盾.(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；(4)与简单的、显然的事实矛盾．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆3．注意事项(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的；(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如下：原词＝＞＜∀x成立∀x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或qp且q反设词≠≤≥∃x不成立∃x成立一个都没有至少两个至少n-1个至多n+1个綈p且綈q綈p或綈q金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆用反证法证明否定性命题设{an}，{bn}分别是公比为p，q(p，q∈R，且p≠q)的两个等比数列，如果cn＝an＋bn，证明数列{cn}不可能是等比数列．分析：因为结论是否定的，所以用反证法证明．证明：假设{cn}是等比数列，则c22＝c1c3，即(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)，展开并整理得a1b1(p－q)2＝0.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆由于a1，b1是等比数列中的项，所以a1≠0，b1≠0，那么p＝q，这与已知条件矛盾，所以，数列{cn}不可能是等比数列．点评：本题很好的体现了反证法证明否定性数学命题的巨大作用，同时也十分清晰地展示了反证法的证明步骤．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆跟踪训练1．求证：1，3，2不能是同一等差数列中的三项．证明：假设1，3，2是公差为d的等差数列的三项，则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m，n为正整数．由上面两式消去d，得n＋2m＝3(n＋m)．因为n＋2m为有理数，而3(n＋m)为无理数，所以n＋2m≠3(n＋m)，因此假设不成立，即1，3，2不能是同一等差数列中的三项．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆用反证法证明“至少、至多”问题求证：三条抛物线y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b(a，b，c为非零实数)中至少有一条与x轴有交点．分析：由于不知道到底是哪条抛物线一定与x轴有交点，因而直接证明很难入手，可采取间接证明的方法来完成．证明：假设三条抛物线都与x轴无交点，则方程ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ1＝4b2－4ac＜0.同理，Δ2＝4c2－4ab＜0，Δ3＝4a2－4bc＜0，金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆则Δ1＋Δ2＋Δ3＜0，即Δ1＋Δ2＋Δ3＝4a2＋4b2＋4c2－4ab－4bc－4ac＝2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2＜0，这与2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2≥0相矛盾，故假设错误．所以，三条抛物线y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b(a，b，c为非零实数)中至少有一条与x轴有交点．点评：采用反证法证明结论中至少或至多形式时，可以使得推证方向明确、推证过程清晰，有利于问题的整体解决．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆跟踪训练2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2.试证：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.分析：如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的．于是考虑采用反证法．假设1＋xy，1＋yx都不小于2，即1＋xy≥2，1＋yx≥2.因为x＞0，y＞0所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x.把这两个不等式相加，得2＋x＋y≥2(x＋y)，证明：金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆从而x＋y≤2.这与已知条件x＋y＞2矛盾．因此1＋xy，1＋yx都不小于2是不可能的，即原命题成立．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆用反证法证明唯一性命题已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.如果方程不只一个根，不妨设x1，x2是它们的两个不同的根，即有：ax1＝b且ax2＝b，则有a(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以a＝0，这与已知矛盾．故假设错误．所以a≠0，方程ax＝b有且只有一个根．点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个根”两层意思．由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.从正面较难说明为什么只有这个根．故我们采用反证法．baba金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆跟踪训练3．求证：方程2x＝3有且只有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程至少有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3，2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果x1－x2＞0，则2x1－x2＞1，这与2x1－x2＝1相矛盾；如果x1－x2＜0，则2x1－x2＜1，这也与2x1－x2＝1相矛盾，因此，x1－x2＝0，即x1＝x2，这与x1≠x2矛盾，所以方程2x＝3有且只有一个根．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆当正面入手较困难时，宜用反证法已知，α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，c∥a.求证：b，c为异面直线．证明：假设b，c不是异面直线，即b，c共面，则b，c相交或平行．(1)若b∩c＝P，已知b⊂β，c⊂α，又α∩β＝a则P∈b⊂β，且P∈c⊂α，从而，交点P一定在平面α，β的交线上，即P∈a，于是a∩c＝P，这与已知c∥a矛盾，因此b，c不相交．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆(2)若b∥c，已知c∥a，则a∥b，这与已知条件a∩b＝A矛盾，因此b∥c也不成立．综上所述，可知b，c为异面直线．点评：如果结论的反面只有一种，则只需将此否定驳倒，这种比较单纯的反证法称归谬法．如果结论的反面情况不只一种，则必须将其逐一驳倒，才能推出命题结论正确．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆跟踪训练4．已知平面M内有两相交直线a，b(交点为P)和平面N平行．求证：平面M∥平面N.证明：假设平面M不平行于平面N，则M和N一定相交，设交线为c.∵a∥平面N，∴a∥c.同理b∥c.则过c外一点P有两条直线与c平行．这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾，所以假设不成立．所以平面M∥平面N.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n－1)个至少有(n＋1)个原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆原结论词都是是p或qp且q反设词不都是不是綈p且綈q綈p或綈q4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆基础训练1．“实数a，b，c不全为0”的意思为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c至少有一个为0D．a，b，c至少有一个不为0D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆2．下列命题中错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．区间(a，b)上单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中一个为奇数的也没有D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆3．用反证法证明命题“如果a＞b，则3a＞3b”时，假设内容应是()A.3a＝3bB.3a＜3bC.3a＝3b且3a＜3bD.3a＝3b或3a＜3b解析：容易知道，“3a＞3b”的否定是“3a＜3b或3a＝3b”，所以，选D.答案：D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆4．如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．至少有一个是正数B．两个都是正数C．一个是正数，一个是负数D．两个都是负数解析：假设两个都是负数，其和必为负数，矛盾，所以选A.答案：A金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆5．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立②所以一个三角形中不能有两个直角③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是()A．①②③B．①③②C．③①②D．③②①解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.答案：C金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆6．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解C金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修1-2•(配人教A版)◆7．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求