高中数学：利用高中数学拓展公式巧解高考及模拟试题

高中数学课外公式补充及应用举例1★角平分线定理如下图所示，若P为ABC中A的内（外）角平分线与BC的交点，则PCBPACAB。【示例1】已知1F、2F分别为双曲线C：127922yx的左、右焦点，点CA，点M的坐标为)02(，，AM为21AFF的平分线，则2AF。【简答】：依据题意可得)0,6(1F，)0,6(2F，因为AM为21AFF的平分线，且点M的坐标为)02(，，所以由角平分线定理得2482121MFMFAFAF，即212AFAF。由双曲线的定义知6221aAFAF，故可得62AF。【示例2】已知I是ABC的内心，2AC，3BC，4AB，若ACyABxAI，则yx的值为（）（A）31（B）32（C）94（D）95【简答】：如上图所示，因为I是ABC的内心，即AD平分BAC，BI平分ABC，所以由角平分高中数学课外公式补充及应用举例2线定理得224DCBDACAB，从而得232BCBD224IDAIBDAB，ADAI32（评注：目的是为了确定ID,的位置）所以)32(32)(3232BCABBDABADAIBCAB9432ACABABACAB9492)(9432，即329492yx，故选B。【示例3】已知双曲线C：12222byax的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N。若FNMF2，则双曲线的离心率e。【简答】：如上图所示，因为)(222baccOF，所以依据题意可得bMF，aOM，bFN2。注意到，x轴为MON的平分线，所以由角平分线定理可得到21FNMFONOM，所以aON2进而在直角三角形OMN中，由勾股定理可得222)2()2(abba，即3122ab所以332311122abe★广义托勒密定理（不等式）设ABCD为任意凸四边形，则BDACADBCCDAB，当且仅当DCBA,,,四点共圆时取等号。高中数学课外公式补充及应用举例3【示例1】在平面四边形ABCD中，1AB，5AC，BCBD，BCBD2，则AD的最小值为。【简答】：依据题意可设tBCBD22，则tCD5。所以由托勒密定理得，BDACBCADCDAB即ttADt2551化简得5AD，故AD的最小值为5。【示例2】如图，在凸四边形ABCD中，1AB，3BC，CDAC，CDAC。当ABC变化时，对角线BD的最大值为。【简答】：依据题意可设tCDAC，则tAD2。所以由托勒密定理得，BDACBCADCDAB即BDttt231化简得61BD，故BD的最大值为61。★阿波罗尼斯圆（轨迹问题）若平面内一动点C到两定点BA,的距离之比等于非1的正常数，即，0(CBCA且)1，则此动点C的轨迹即为阿波罗尼斯圆。高中数学课外公式补充及应用举例4【示例1】满足条件2AB，BCAC2的三角形ABC的面积的最大值是。【简答】：根据题意有2BCAC，若把BA,看作定点，C看作动点，则由阿波罗尼斯圆的轨迹定义知点C的轨迹为圆。不妨设)0,1(A，)0,1(B，),(yxC，由222BCAC化简得8)3(22yx，此即为动点C的轨迹方程，结合图形易知222222121CABCrABS，故ABC面积的最大值为22。★重心性质（Ⅰ）0GCGBGA；（Ⅱ）2GEBGGDAG（另一条中线亦如此）；（Ⅲ）若),(11yxA，),(22yxB，),(33yxC，则ABC的重心G的坐标为)3,3(321321yyyxxx；（Ⅳ）三条中线将ABC分成6个面积相等的小三角形。【1】ABC中，0GCGBGA，且0GBGA，若CmBABAtantantantantan，则实数m的值是。【简答】：因为CmBABAtantantantantan，所以CCmBABABBAAcossincoscossinsincossincossin，即CCmBACsincossinsinsin；高中数学课外公式补充及应用举例5所以22222222222cossinsinsincbaccbaababcCBACm①又因为0GCGBGA，且0GBGA，所以G为ABC的重心且GBGA。根据重心的相关性质，不妨设tGDAG22，nGEBG22，所以2222222416)4(44tntnBDBCa同理22222416)4(4ntntb，22244ntc将这三个式子的结果均代入①式可算出21m。★圆的相交弦定理如图所示，弦AB与弦CD相交于点P，则有PDPCPBPA。【示例1】函数)2015)(2014()(xxxf的图像与x轴，y轴有三个交点，有一个圆恰经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（）（A）)1,0(（B）)1,0(（C）)20152014,0(（D）)20152014,0(【简答】：根据题意得到三个交点分别为)0,2014(A，)0,2015(B，)20152014,0(C。设过CBA,,三点的圆与坐标轴交的第四个点为),0(aD，且在y轴的正半轴上。易知AB与CD的交点为O，所以由相交弦定理得ODOCOBAO，即a2015201420152014，解得1a。高中数学课外公式补充及应用举例6所以)1,0(D，故选B。★海伦公式边长为cba,,的三角形的面积公式为))()((cpbpappS，其中)(21cbap。【1】设nnnCBA的三边长分别为na，nb，nc，nnnCBA的面积为nS，,3,2,1n。若11cb，1112acb，nnaa1，21nnnacb，21nnnabc，则（）（A）}{nS为递减数列（B）}{nS为递增数列（C）}{12nS为递增数列，}{2nS为递减数列（D）}{12nS为递减数列，}{2nS为递增数列【简答】：本题采用特殊值法。为了便于利用海伦公式算面积，不妨设41a，31c，51b，周长的一半61p，则)56()36()46(61S)14(12)12()12(121312；42a，292c，272b，周长的一半62p，则)276()296()46(62S)414(12)212()212(12；43a，4153c，4173b，周长的一半63p，则)4176()4156()46(63S)1614(12)412()412(12；44a，8334c，8314b，周长的一半64p，则)8336()8316()46(64S高中数学课外公式补充及应用举例7)6414(12)812()812(12；从而易看出4321SSSS，故选B。（根据选项此题至少算4个）★圆的切割线定理如图所示，过点P引两条割线PCDPAB,，一条切线PT，则有2PTPDPCPBPA。【1】如图，抛物线E：xy42的焦点为F，准线l与x轴的交点为A。点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N。（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求MN；（Ⅱ）若ANAMAF2，求圆C的半径。高中数学课外公式补充及应用举例8【简答】：（Ⅰ）根据题意易得到)2,1(C，点C到直线MN的距离2d；从而2452222drMN。（Ⅱ）先设直线AF与圆C交另外一点为B。由圆的切割线定理得到ABAOAMAN；因为4222AFAMAN，所以4ABAO，即4AB，所以)0,3(B。此时OB为圆C的一条弦，根据垂径定理，易知线段OB的垂直平分线必过圆心C，所以23Cx从而62342Cy；所以4336492222CCyxOCr，故圆C的半径为233。★三角形内切圆半径公式cbaSrABC2rcbaSABC)(21（其中r为ABC的内切圆半径）【1】在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4π（B）92（C）6π（D）323【简答】：根据题意只需考虑两方面的情形：一是保证球与上下底面相切，二是保证与三侧面相切。当球与上下底面相切时，球的半径应为232111AAR，当球与三侧面相切时，球的半径应为21086862122R，因此最终确定球半径的最大值23R，进而体积最大值2982734V【评注】：多面体的内切球半径公式：表面积内切球SVr3（推导原理是体积分割法）。高中数学课外公式补充及应用举例9★抛物线焦半径、焦点弦公式（该课外公式仅解小题）①AB为抛物线)0(22ppxy的焦点弦，F为焦点，),(11yxA，),(22yxB，为直线AB的倾斜角，则有（课内）21pxAF22pxBFpxxAB21；（课外）cos1pAFcos1pBF2sin2pAB。②AB为抛物线)0(22ppyx的焦点弦，F为焦点，),(11yxA，),(22yxB，为直线AB的倾斜角，则有（课内）21pyAF22pyBFpyyAB21；（课外）sin1pAFsin1pBF2cos2pAB。【示例1】已知F为抛物线C：xy42的焦点，过F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于BA,两点，直线2l与C交于ED,两点，则DEAB的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【简答】：依据题意可得，2sin4AB22cos4)2(sin4DE所以22cos4sin4DEAB2sin414cossin4222162sin162故选A。另解：22cos4sin4DEAB)cos4sin4)(cos(sin22224sincos4cossin442222164428【示例2】过抛物线)0(2aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则qp11等于（）高中数学课外公式补充及应用举例10A．a2B．a21C．a4D．a4【简答】：依据题意可得yax12，因qp,大小不定，则不妨取sin121aPFp，sin121aQFq所以aaaaqp421221sin121sin111。评注：当然本题可利用特殊位置以确定答案，比如当PQ平行于x轴时，易得出C选项。【示例3】过抛物线)0(22ppyx的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则FBAF。【简答】：依据题意得30sin1pAF，30sin1pBF。（因为结合图形易看出BFAF）。所以3130sin130sin130sin130sin1ppBFAF。★三次函数对称中心公式对于三次函数)0()(23adcxbxaxxf的对称中心，只需将三次函数求导两次后等于零)026)((baxxf，即得对称中心的横坐标)3(abx，所以三次函数的对称中心为))3(,3(abfab。【1】已知函数30299)(23xxxxf，实数nm,满足12)(mf，18)(nf，则nm（）（A）6（B）8（C）10（D）12【简答】：依据题意可得0186)(xxf，则该三次函数的对称中心为)3,3(，所以满足6)6()(xxf，然而61812)()(nfmf，所以6nm