04-2转动定律(新).

Ffa0AωGR0ω0日常生活经验告诉我们：开关门的时候，门转动得快慢，不仅与作用力的大小有关，还和力的作用点到门轴的距离有关，并且与力的方向有关。表征力对物体转动运动的作用称为力矩。描述物体转动运动中力矩转动惯性以及角加速度的关系规律：转动定律（体现转动物体转动的牛顿第二定律）力矩Momentofforce转动惯量Momentofinertia转动定律lawofrunning§4-2力矩转动定律转动惯量刚体定轴转动的动力学：一.力矩是矢量力矩物理符号：M物理单位：牛顿·米（N·m）研究刚体获得角加速度的原因和刚体在转动过程中所遵循的牛顿第二定律转动定律。要使一个刚体进行绕轴转动，光有外力的大小还不行，必须注意到外力的作用点的位置和力的方向，即必须要有外力矩。F=Md中学里的概念：力矩＝力×力臂1.力在转动平面内：转动中心到力的作用线的垂直距离。·0·rFθωcosFθsinFθ力在转动平面内进行分解为切向分力和法向分力sin=FθFtcos=FθFn经验告诉我们只有切向分力对物体的转动效应有作用。=MFrsinθ其力矩效果1.力在转动平面内：M·0·rFθωcosFθsinFθ=MFrsinθ力矩的量值力矩的方向判断右手螺旋前进法则Fr力矩的矢量式：r×=MF力矩量值的一般书写：=MFrsin（）rF、2.力不在转动平面内:·0·rFω2F1F力矩的矢量式r×=MFr×=MF=r×()F1+F2=r×F1+r×F2只能引起轴的变形，而对物体的转动效应无贡献。在定轴转动问题中，如不讨论轴上受力，所考虑的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。如果多个外力同时作用在一个刚体上，（在此列举三个外力）则它们的合外力矩情况如何呢？z0r2r1r3F1F3F2θ3θ2θ1·－F1r1sinθ1当刚体是由n个质点所组成，它们之间内力矩情况是:★当M＞0，合力矩的方向沿z轴正方向。★当M＜0，合力矩的方向沿z轴负方向。M＝－F1r1sinF2r2sin＋θ1θ2θ3＋F3r3sin同理：外力F2.F3也能进行矢量的分解，它们的合外力矩为：外力F1在转动平面内进行分解，切向分力矩对转动效果有贡献。sinrθF11当刚体是由n个质点所组成，它们之间内力矩情况是:z0r2r1r3θ2θ1·F12´F21´作为一个系统，是一对内力，它们大小相等、方向相反作用在一条直线上。∴F12´F21´与F21´F12´＝它们之间内力矩情况是:M＝M12－M21F12r1sin－F21r2sin=´´θ1θ20刚体各质点之间的作用力对转轴的合内力矩等于零M＝M＝0Σi例题：有一根均匀质量为m＝6kg的细棒长度是60cm等距离的穿有四个小球，它们的质量分别为m1＝2kg、m2＝3kg、m3＝4kg、m4＝5kg。问：支撑在这个装置中的哪一点上，才能使它保持静止平衡？m460cmm20cmm3m1m2解：这类题目用力矩平衡的方法就容易多了。AB画出各个小球的重力线：设：左端最小球处为A，右端最大球处为B并设：整个装置的支点△在离细棒中心处为x地方·△x30cm2kg3kg4kg5kg由的力矩定义r×=MF可列出下列方程由的力矩定义r×=MF可列出下列方程点支△应设在离A端35cm处才能使该装置静止平衡。＋＋6x2（30＋x）3×+（30－20）xm460cmm20cmm3m1m2AB·△x30cm2kg3kg4kg5kg6kg4（10－x）5×＋（30－x）＝×＝20x100x＝5支点△左右力矩量值相等装置平衡二.转动定律0riFiθi·ω´00fiji·mi△iF外力if内力θFfiisinsin+=matjii△ii切向分力：θFfiicoscos-=mrjii△ii-ω2法向分力：θFfiicoscos＋=mrjii△ii-ω2（）负号说明与法向加速度的方向相反研究刚体受外力矩作用时，外力矩与角加速度之间的关系：刚体转动中的牛顿第二定律。i△对m质点进行牛顿第二定律有：受力分析并应用θFfiisinsin+=matjii△ii切向分力：θFfiicoscos-=mrjii△ii-ω2法向分力：法向分力是沿着矢径方向的因此对刚体的转动效应无贡献对切向分力进行数学处理：两边×riθFfiisinsin+=matjii△iiriririθFfiisinsin+=matjii△iiriririΣΣΣ内力矩相互抵消内力矩为0外力矩之和MJα0riFiθi·ω´00fiji·mi△θFfiisinsin+=matjii△iiriririΣΣΣ内力矩相互抵消内力矩为0外力矩之和MJαθFfiisinsin+=matjii△iiriririΣΣΣa=rα=m△iriΣ2αJα=MJα上式就是描述定轴转动的刚体，外力矩和角加速度之间关系的:转动定律为一个新的物理量m△iriΣ2转动惯量J三.转动惯量J：=MJα转动定律的物理意义刚体在绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。描述刚体在转动中转动惯性大小的量度单位：Kg.m2为一个新的物理量m△iriΣ2当质量连续（可导）分布时：当物体几何形状、质量为规则时，那么其转动惯量可写作：r=m2Jr=m2Jd=MJα当以相同的力矩分别作用在两个绕定轴转动的刚体时★转动惯量大的刚体获得的角加速度小,角速度改变得慢，保持原有转动状态的惯性大。★转动惯量小的刚体获得的角加速度大,角速度改变得快，保持原有转动状态的惯性小。（1）刚体的形状（2）质量分布（3）转轴的位置决定转动惯量的三个要素：见教材P95（1）刚体的形状（2）质量分布（3）转轴的位置决定转动惯量的三个要素：ω00·质量相同，但质量分布不同转动惯量J也不同。ωω转轴的位置不同，转动惯量J也不同。ωr球壳实心球体圆环几种有规则刚体的转动惯量ωr2圆筒r112m+(r12r22)12mr225mr223mr2ωrωr同一个物体对不同转轴转动惯量的不相同0´0ml1122J=ωω´00ml132J=ω´014mr2J=0r·012mr2J=´0ωr·转动惯量的计算例题：如图所示、求：整个装置绕A点转动时的转动惯量。A·4m2m3mmLLLLω解：根据转动惯量计算的定义r=m2Jr=m2Jd本题不必用积分的形式求解分别在3m和4m到A点作辅助线得到r＝2LJ=3m2L（）2＋2m2L（）2＋4m2L（）2=22mL2例题：求质量为m、长度为L的均质细杆绕00轴旋转的转动惯量。´ω´00dxxL解：根据转动惯量计算的定义r=m2Jr=m2Jd本题必须用积分的形式求解m=dmdxL取长度元dx，进而求出质量元dm。线密度：单位长度的质量m=dJdxLdmx2=x2J=dJ=mdxLx20LmL132=此结果作为经验公式牢记！例题：求质量为m、半径为R的均质圆盘绕oo´轴旋转的转动惯量。ω0´mrR0dr解：根据转动惯量计算的定义r=m2Jd设单位面积的质量为σ（面密度）R=mπ2σdm=2πrdrσ=2πrdrRmπ2=2rdrRm2r=m2Jd=r22rdrRm20R=2Rm2r44RmR122=此结果作为经验公式牢记！例题：一均质圆形薄板绕一条以其直径为轴转动，求其转动惯量。已知:r,m。ω00´·rxy解:建立直角坐标，并添设辅助线：dyxyjd=mdS2xdyσ=σσrcosj2rcosjdj==σrcosj2dj22rcos=xjrsin=yjrcos=dyjdjdS=2xdyr=mπ2σ()2d=J112dm2x=σrcosj2dj2212)(1(2rcosj)2rcos=xjrsin=yjrcos=dyjdjdS=2xdyr=mπ2σω00´·rxydyxyj=23σrcosjdj44()2d=J112dm2x=σrcosj2dj2212)(1(2rcosj)2J=23σr4cosjdj42π2π－=23σr4cosj2π2π－sinj58－14sinj3cosj＋38j=23σr483π=241mr例题：计算刚体对垂直于纸面的0轴的转动惯量（1）半径为R、质量为M的均匀圆盘，连接一根长为L、质量为m的均匀细棒（2）两根细棒长度分别为0.5L、质量分别为m1、m2，连接在一起。RooMLm·mmo120.5L0.5L··细棒和圆盘构成了系统由转动惯量的可加性，转动惯量是两部分所组成。∵转动惯量的大小与转轴的位置有关，有平行轴定理：J0＝J细棒＋J圆盘J圆盘＝12MR2＋M（）＋LR2J细棒＝13mL2RooMLm··J圆盘＝12MR2＋M（）＋LR2J细棒＝13mL2mmo120.5L0.5L·同理：J0＝13mL2＋12MR2＋M（）＋LR2J0＝J杆1＋J杆2J杆1＝13mL212（）112mL222（）J杆2＝＋m22（L4L2＋）J0＝J杆1＋J杆2＝112mL21712mL22＋转动定律和牛顿第二定律对照=Fmaddtv=m=ddtrm22=MJaddtω=JddtθJ2=2合外力。使质点运动状态改变。合外力矩。使刚体转动状态发生改变质量。质点运动惯性大小的量度转动惯量。刚体转动惯性大小的量度。三个要素加速度。质点运动速度改变快慢的一个物理量角加速度转动角速度改变快慢的一个物理量。转动定律牛顿第二定律应用转动定律的解题四步骤特别要注意：角量和线量的关系及转换例题：在图示的装置中滑轮可视作均质圆盘其半径为r、质量为m、滑轮两边悬挂重物质量分别为m1、m2试求：重物的加速度及绳子的张力。1.确定研究对象选择参照系建立坐标2.用隔离法画出各个物体受力分析图3.按刚体转动定律列出相应的解题方程。4.代入数字、进行计算，统一单位。例题：在图示的装置中滑轮可视作均质圆盘其半径为r、质量为m、滑轮两边悬挂重物质量分别为m1、m2试求：重物的加速度及绳子的张力。已知：m2＞m1绳子紧绷、滑轮轴心等摩擦力不计并对各个物体进行受力分析。画出受力分析图mm1rm2·oT2am2gm2am1T1gm1maroa·T1T2研究对象：m2、m1、滑轮。mm1rm2·oT2am2gm2am1T1gm1maroa·T1T21=J22mr切向加速度与滑轮角加速度的关系根据定律列方程：转动定律M＝Jagm2=m2a-T2T1-gm1=m1aT2r-T1r=Jaa=ra记忆背出牛顿第二定律a=（）m2-m1g（m1+m2+m2)ra=（）m2-m1g（m1+m2+m2)m1T1=m（m1+m2+2)（2m2+m2)gm2T2=m（m1+m2+2)（2m1+m2)gmm1rm2·o解联立方程可得：1=J22mrgm2=m2a-T2T1-gm1=m1aT2r-T1r=Jaa=ra以后aAaB（A）=（B）＞（D）开始时aAaB＜（C）aAaBaAaB=＜aAaBMABRF00在做选择题时千万不能无根据地猜测，可以用排除法，去除不正确的答案。但本题是要通过适当的计算，才有正确的结果。对A进行受力分析再由转动定律列出方程求解例题：如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg，设：A、B两个滑轮的角加速度分别为aBaA不计滑轮轴的摩擦，请选择下列正确的答案。和MABRF00对A进行受力分析再由转动定律列出方程求解MgT对A：Mg－T＝MaTR＝JaA∴JaAMg＝R＋MRaA∴JaAMg＝R＋MR（）2aA＝J＋MR2MgR对B：FR＝JaBaBFR＝J＝MgRJ两个结果，分子相同，而分母J＋MR2J＞∴选择＜（C）aAaB例题：有半径为R、质量为m的均质圆盘，以角速度ω绕盘心轴转动，现有一刹车片以正压力FN均匀地作用在该圆盘上，从而使其转速逐渐变慢，已知他们之间的摩擦系数为μ，求：（1）刹车片对圆盘的摩擦力矩M（2）圆盘的角加速度（3）经过多长时间圆盘停止转动？·R0ω解：由的力矩定义r×=MF摩擦力矩元dM=rdFf圆盘单位面积上所受的压力为：FNπR2在圆盘上取面积元dS＝drdlRdrdl·0该面积元所受的压力为：dFf＝dlμN＝μFNπR2drdFf摩擦力矩元dM=rdFfd