概率(古典高考一轮复习概率、条件概率、离散型随机变量)(理科)

第1页版权所有不得复制年级高三学科数学内容标题概率（古典概率、条件概率、离散型随机变量）（理科）编稿老师胡居化一、学习目标：1.了解事件、频率、概率的基本概念.理解古典概率与条件概率的特征、互斥事件与独立事件的含义、互斥事件与对立事件的区别，并能进行简单的概率计算.2.理解随机变量、离散型随机变量的分布列的含义及性质，并能求出离散型随机变量的分布列及数学期望（均值）与方差.3.了解模拟方法（几何概型）及二项分布的内容，超几何分布的特征及其简单应用.4.了解正态分布的概念、正态曲线的形状、正态分布中的参数含义.二、重点、难点：重点：1.概率的计算（古典概率、几何概率、条件概率、互斥事件和独立事件的概率）2.求离散型随机变量的分布列、均值、方差.难点：1.互斥事件与对立事件的区别.2.古典概型与几何概型的区别.三、考点分析：从近几年的新课标的高考命题来看，对古典概率、条件概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、概率的应用、离散型随机变量的分布列的性质等基础知识的考查常以选择、填空题的形式出现，题目难度小.同时新课标高考中常将对古典概率、条件概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差等内容结合在一起考查，题型多为解答题.此类问题在新课标高考的考查中属中档题.一、古典概型与互斥事件1.频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值.2.古典概率计算公式：P（A）=1P(A0nmA)，试验的基本事件总数包含的事件数事件.集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则第2页版权所有不得复制IA.3.古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性.4.互斥事件概率（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件.（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则)()()(BPAPBAP（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件.记作：AB，由对立事件定义知：)(1)(APAP（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立.用集合的观点分析对立事件与互斥事件：设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则BA（如图1所示）图1设两个对立事件A，A包含的所有结果构成的集合为AA,则IAAAA且,（如图2所示）图2注：若nAAA,,21任意两个事件互斥，则：)()()()(2121nnAPAPAPAAAP二、几何概型几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域GG1的概率与1G的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型.几何概型计算公式：的面积的面积内）落在点GGM(11GP几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性.注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等.第3页版权所有不得复制三、条件概率与独立事件1.条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）.类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P（B|A）.2.把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：BA=D或D=AB.3.条件概率计算公式：))(,)()()|(0BP(BPABPBAP，)0)((,)()()|(APAPABPABP注：（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的.（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）=P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率.此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）=)()()()()()(BPAPABPBPABPAP.故当两个事件A，B，若P（AB）=P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与BABAB与与,,也相互独立.四、二项分布、超几何分布、正态分布1.二项分步：（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立.N次独立重复试验的特征：①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变，②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生.（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为),,2,1,0(,)1()(nkppCkPknkknn，若随机变量由此式确定，则X服从参数n，p的二项分布，记作：),(~pnBX.2.超几何分布超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（)NM，从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则第4页版权所有不得复制nNknMNkMCCCkXP)(，（k为非负整数），若随机变量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记住),,(~NMnHX.注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义.随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商.3.正态分布：（1）正态曲线：函数Rxexfx,21)(222)(图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（2）若随机变量),(~2NX，则2)(,)(XDXE.五、离散型随机变量的分布列，期望，方差1.离散型随机变量的均值（数学期望）2.（1）分布列定义：设离散型随机变量X的可能取值为：raaa,,,21，取ia的概率为ip（),3,2,1ri即X的分布列为),,2,1()(ripaXPii则X的均值为：)()()(2211rraXPaaXPaaXPa＝rrpapapa2211，记为：EX=rrpapapa2211.（2）离散型随机变量特征：反映随机变量的平均取值水平，即刻画离散型随机变量取值的“中心位置”.（3）均值（期望）的性质：①.)(CCE②baEbaE)()(③)()()(2121EEE④若21,相互独立，则)()()(2121EEE（4）常见的离散型随机变量的数学期望：①二项分布：若随机变量X服从参数为n，p的二项分布：),(~PnBX，则npEX②超几何分布：若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布：),,(~NMnHX，则NnMEX.注：随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而不同，且随着样本容量的第5页版权所有不得复制增大，样本平均值会逐渐地接近总体的均值.3.离散型随机变量的方差、标准差及方差与均值的关系（1）离散型随机变量的方差定义：设离散型随机变量X的可能取值为nxxx,,,21，这些取值的概率为：nppp,,,21，则nnpEXxpEXxpEXxDX2222121)()()(就叫做离散型随机变量的方差.离散型随机变量的方差的算术平方根是标准差.（2）离散型随机变量方差的特征：反映离散型随机变量的取值相对于数学期望的离散程度.（3）离散型随机变量（）方差的性质：①设a，b是常数，则)()(2DabaD②22)]([)()(EED二项分布中的离散型随机变量的方差：)1(,pqnpqDX注：离散型随机变量的方差与样本方差的关系：离散型随机变量的方差是总体方差的一个常数.样本方差是一个随机变量，随样本空间的变化而变化，且随着样本容量的增大，样本方差会越来越接近总体方差.4.求离散型随机变量的均值、方差的步骤：（1）写出离散型随机变量X的分布列，在求X取值的概率时要联系古典概率、条件概率、互斥事件和独立事件概率的有关知识求解.（2）由分布列求EX和DX.（3）若离散型随机变量是线型关系或服从二项分布，可直接根据公式计算.知识点一：概率的计算例1.基础题1.从长度为1，3，5，7，9的五条线段中任取三条线段，使得三条线段构成三角形的概率是___________.2.将一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量),(nmp，)1,2(q，则向量qp的概率是___________________.3.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0~9之间取整数值的随机数，指定：1，2，3，4表示投篮命中.5，6，7，8，9，0表示投篮未命中，再以每三个随机数为一组，代表三第6页版权所有不得复制次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数如下：488730113537989907966191925271932812458569683431257393027556，据此估计该运动员三次投篮两次命中的概率是_____.4.ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O点的距离大于1的概率是____________.思路分析：1.从长度为1，3，5，7，9的五条线段中任取三条线段有10种情形，然后根据三角形两边之和大于第三边的性质找出可以构成三角形的三条线段的组合情况.2.根据qpmn2，即求第二次出现的点数是第一次出现点数的2倍的概率.显然在36种结果中只有3种：（1，2），（2，4）（3，6）.3.观察20组随机数，根据规定：三次投篮两次命中的有5组随机数.4.以OA=1为半径画半圆，当点落在阴影部分时满足条件.解题过程：1.从长度为1，3，5，7，9的五条线段中任取三条线段有10种情况，分别是：［1，3，5］，［1，3，7］，［1，3，9］，［1，5，7］，［1，5，9］，［3，5，7］［3，5，9］，［5，7，9］［1，7，9］，［3，7，9］，其中能构成三角形的有：［3，5，7］［5，7，9］［3，7，9］三种情况.故所求的概率3.0103P.2.一颗骰子投掷两次有36种结果，第二次出现的点数是第一次出现点数2倍的有3种情况：即（1，2）（2，4）（3，6），故所求的概率是121363P.3.20组随机数中，满足条件的随机数有5组：191271932812393，故P=2050.25.4.以OA=1为半径画半圆，当点落在阴影部分时取到的点到O点距离大于1.故4121212ABCD2面积长方形阴影部分面积P.解题后的思考：对于古典概率求解的方法，关键是找出基本事件的总数和某一事件包含的结果数，在基本事件总数较少的情况下，一般采用列举法（枚举法）较为方便.解决几何概型问题时，要根据题意判断区域是面积、体积，还是长度，并能根据几何图形作必要的辅助线.例2.中等题1.在0~9的十个数字中，任取三个数组成没有重复数字的三位数，这个数不能被3整第7页版权所有不得复制除的概率是___________.2.甲罐中有5个红球，2个白球，3个黑球.乙罐中有4个红球，3个白球，3个黑球，先从甲罐中随机取一球放入乙罐中，分别以321,,AAA表示由甲罐中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙罐中取出一球，用B表示取出的球是红球的事件.则下列结论正确的是（）（1）52)(BP；（2）115)|(1ABP；（3）事件B与事件1A相互独立；（4）321,,AAA是两两互斥事件；（5）P（B）的取值不能确定，因为它与321,,AAA中究竟哪一个事件发生有关.3.设}12,8,4,2{},4,3,2,1{ba，则函数baxxxf3)(在区间［1，2］上有零点的概率是_____.思路分析：1.设事件A：表示能被3整除的三位数.则不能被3整除的概率)(1APP，共有6482919AC个无重复数字的三位数，能被3整除的无重复数字的三位数有两种情