同济版-高等数学-同济版高等数学级数习题课

目录上页下页返回结束第十二章习题课：无穷级数三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和傅式级数五、级数的应用一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法目录上页下页返回结束一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发散满足比值审敛法limn1nunu根值审敛法nnnulim1收敛发散1不定比较审敛法用它法判别部分和极限1目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz审敛法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛目录上页下页返回结束练习.判别下列级数的敛散性:目录上页下页返回结束;1ln)1()1(1nnnn练习.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:目录上页下页返回结束11ln)1()1(nnnn因单调递减,且所以原级数仅条件收敛.由Leibniz审敛法知级数收敛;但nnn1ln1不收敛?目录上页下页返回结束11!)1()1()2(nnnnn因nnuu11)111(12nnnnn所以原级数绝对收敛.目录上页下页返回结束二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R:再讨论Rx•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.,lim1nnnaaR目录上页下页返回结束•求部分和的极限三、幂级数和函数的求法求和•利用逐项积分，或者逐项求导逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和函数求积或求导)(xS难•初等变换法:分解成几个已知级数(如：等比级数、指数函数的幂级数、正弦函数的幂级数，等)的和nnnxa0目录上页下页返回结束例1.求幂级数目录上页下页返回结束练习.求下列幂级数的和函数目录上页下页返回结束四、函数的幂级数和傅式级数展开法•直接展开法•间接展开法练习:将函数展开成x的幂级数.—利用已知幂级数，变量代换和幂级数的运算等方法展开—利用泰勒公式1.函数的幂级数展开法目录上页下页返回结束2.函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法练习:xyOππ),[上的表达式为将其展为傅氏级数.naπ1xnxxdcose021)cossin(e1nnxnxnx0π),2,1,0(11)1(e12nnnP323题11.设f(x)是周期为2的函数,它在解答提示目录上页下页返回结束xnxbxndsine1021)cos(sine1nnxnnxx0),2,1(1)1(12nnenn21e)(xf11n),2,1,0,(kkx目录上页下页返回结束五、幂级数的应用1、求函数的近似值；2、求积分的近似值；3、求微分方程的解（未知函数的幂级数展开式）.