定积分元素法

1第一节定积分的元素法第二节平面图形的面积内容提要：重点：难点：定积分的元素法,平面图形的面积的求法.定积分的元素法,平面图形的面积的求法.定积分的元素法,第六章定积分的应用2xoyab)(xfy和我们知道求由0,,ybxax)(xfy所围成的曲边梯形的面积A须经过以下四个步骤：（2）近似计算：iiixfA)();(1iiixx;)()(10limbaniiidxxfxfA（4）取极限：（3）求和：niiixfA1)(iAniiAA1],[ba分成n个小区间，（1）分割:把设第i个小曲边梯形的面积为则：第一节定积分的元素法ix1ix3（2）A对于区间[a,b]具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于所有小曲边梯形面积的和。在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：（1）A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量；;)(badxxfA即：A的精确值，iixf)(近似代替部分量iA时，它们只相差一比ix高阶的无穷小，因此和式niiixf1)(的极限就是（3）以4A（3）写出A的积分表达式，即：dxxfAba)(求A的积分表达式的步骤可简化如下：（1）确定积分变量x及积分区间[a，b]；A以dxxf)(作为的近似值。],[dxxx（2）在[a,b]上任取小区间即：dxxfdA)(dxxf)(叫做面积元素,记为dxxfA)(xyo)(xfybadxxxdxdA5具体步骤是：那么这个量就可以用积分来表示。（叫做积分元素）badxxfU)(（3）写出U的积分表达式，即：（1）根据具体问题，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；dxxfdUU)(（2）在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]，求出U在这个小区间上的近似表达式这种方法叫做定积分的元素法。一般地，如果某一实际问题中的所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量；（2）U对于区间[a，b]具有可加性；iU的近似值可表示为iixf)(（3）部分量6一、直角坐标情形例１计算由22,xyxy所围成的图形的面积。这两条抛物线所围成的图形如图所示22xyxy和得抛物线的两个交点)0,0()1,1(取x为积分变量，积分区间为]1,0[在上任取小区间],[dxxx面积元素为.)(2dxxxdA故所求面积为.01)(31332210323xxdxxxAyox)1,1(11dxxx第二节平面图形的面积解解方程组]1,0[，7注：当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即3110210dxxdxxAyox)1,1(11xyodxxx)(x)(xba所围成的图形的面积一般地，由)(),(,,xyxybxaxdxxxAba)]()([8xyo例２计算抛物线xy22与直线4xy所围成的图形的面积。注：当然这个题也可以用元素法来解。这个图形如右图所示，以y为积分变量，所求的面积为1824244)4(62422214232yyydyydyyA解得交点422xyxy)2,2()4,8(解方程组)2,2()4,8(9例3求椭圆12222byax所围成的图形的面积利用椭圆的参数方程tbytaxsincos应用定积分换元法，令taxcos则：tdtadxtbysin,sin当x由0变到a时，t由2变到0，所以：1A设椭圆在第一象限部分的面积为aydxAA0144ababtdtabtdtabdttatbA221020204sin4sin4)sin(sin42221A解则椭圆的面积为。椭圆变为圆，时，当2aAba10一般地，当曲边梯形的曲边:]),[,0)((,baxxf)(xfy由参数方程)()(tytx给出时，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为dtttdxxfAba)(')()(在],[],[（或）上具有连续导数，)(tx适合：)(,)(,)(tba如果)(ty连续11二、极坐标情形下面我们求这个曲边扇形的面积。所以曲边扇形的面积为：dA221)]([设由曲线)(r及射线,围成一图形（称为曲边扇形）。ddA221)]([面积元素为：为],[],[d取极角积分变量，积分区间为任取小区间，。)(在],[上连续，且0)(假设。221RA圆扇形面积公式为ddxo)(r12例4计算阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。在此区间上任取小区间，],[ddadA221)(于是所求面积为322032202234322aadaAdxoa2面积元素为解积分变量为]2,0[积分区间为13例5计算心形线)cos1(ar)0(a所围成的图形面积。因此所求图形的面积A是极轴以上部分图形面积的两倍，1A注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。dxoa2222302sin41sin223aa12AA022)coscos21(da02)22cos1cos21(da解如图所示，这个图形关于极轴对称,即022)cos1(212da