导数与函数的单调性、极值复习

第十一节导数与函数的单调性、极值、最值1.函数的单调性与导数的关系（1）函数y=f(x)在（a，b）内可导常数函数（2）单调性的应用若函数y=f(x)在区间（a,b）上单调，则y=f′(x)在该区间上_______.不变号2.函数的极值（1）极大值在包含x0的一个区间（a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都___________x0点的函数值，称____为函数y=f(x)的极大值点，其函数值_____为函数的极大值.小于或等于点x0f(x0)（2）极小值在包含x0的一个区间（a,b）内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都___________x0点的函数值，称____为函数y=f(x)的极小值点，其函数值_____为函数的极小值._______与_______统称为极值，_________与_________统称为极值点.大于或等于点x0f(x0)极大值极小值极大值点极小值点（3）导数与极值x(a,x0)x0(x0,b)f′(x)+0-y=f(x)增加极大值减少f′(x)-0+y=f(x)减少极小值增加3.函数极值与最值的求法(1)求可导函数y=f(x)极值的步骤：①求出导数f′(x)；②解方程f′(x)=0；③对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析f′(x0)在x0左、右两侧的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：若f′（x）在x0两侧的符号“_________”，则x0为极大值点；若f′（x）在x0两侧的符号“_________”，则x0为极小值点；若f′（x）在x0两侧的符号_____，则x0不是极值点.左正右负左负右正相同（2）求函数在闭区间［a,b］上的最值可分两步进行：①求y=f(x)在(a,b)内的_____；②将函数y=f(x)的各极值与区间［a,b］端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中___________为最大值，___________为最小值.极值最大的一个最小的一个判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()【解析】（1）错误.f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之不一定．如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增，但f′(x)≥0．所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件．(2)错误．一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一个.(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小.(4)错误.对可导函数f(x)，f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件，如y=x3在x=0时f′(0)=0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点．(5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√1．函数f(x)＝lnx－ax(a0)的递增区间为()（A）（B）（C）（D）(-∞,a)【解析】选A.由得∴f(x)的递增区间为1(0,)a1(,)a1(,)a1fxa0x＝－，10xa，10a(，)．2．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()（A）(a，b)（B）(a，c)（C）(b，c)（D）(a＋b，c)【解析】选A.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，∴b＝0.2b113a－＝－，3.函数f(x)=x3-3x,x∈(-1,1)()（A）有最大值，但无最小值（B）有最大值，也有最小值（C）无最大值，也无最小值（D）无最大值，但有最小值【解析】选C.f′(x)=3x2-3,∵x∈(-1,1),∴f′(x)＜0,∴f(x)在(-1,1)上是减少的，故f(x)无最大值，也无最小值.4．已知f(x)＝x3－ax在［1，＋∞)上是增加的，则a的最大值是()（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】选D.f′(x)＝3x2－a≥0在［1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在［1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.5．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)1，则f(x)x的解集是()（A）(0,1)（B）(－1,0)∪(0,1)（C）(1，＋∞)（D）(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】选C.令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－10，所以F(x)是增函数，故易得F(x)F(1)的解集，即f(x)x的解集是(1，＋∞)．考向1利用导数研究函数的单调性【典例1】（1）（2012·辽宁高考）函数的递减区间为()（A）(-1,1］（B）(0,1］（C）［1,+∞)（D）(0,+∞)21yxlnx2（2）（2012·北京高考改编）已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.①若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值;②当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.【思路点拨】（1）保证函数有意义的前提下，利用y′≤0求解.(2)①利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等，构造方程组求解；②构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求单调区间.【规范解答】（1）选B.由⇒-1≤x≤1，且x≠0，又函数的定义域为(0,+∞),故递减区间为(0,1］.211y(xlnxx02x）（2）①f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b，由已知可得解得a=b=3.f1a1c,g11bc,2a3b，②令令F′(x)=0，得∵a0,∴x1x2,由F′(x)0得，或由F′(x)0得，∴递增区间是递减区间为232aFxfxgxxaxx14，22aFx3x2ax4，1ax2，2ax,6ax2ax6；aax.26aa(,),(,)26；aa(,).26【互动探究】在本例题(2)②中，若条件不变，讨论函数f(x)+g(x)当a＞0时，在区间（-∞，-1)上的单调性.【解析】由本例解析知，当a＞0时，函数的递增区间是递减区间为当即0＜a≤2时，f(x)+g（x）在(-∞，-1)上为增加的；当即2a≤6时，f(x)+g（x）在上是增加的，在上是减少的；aa(,),(,)26；aa(,).26a12，aa126，a(,)2a(,1)2当即a6时，f(x)+g（x）在上是增加的，在上是减少的，在上是增加的.综上，当0a≤2时，f(x)+g(x)在(-∞,-1)上是增加的;当2＜a≤6时，f(x)+g(x)在上是增加的，在上是减少的;当a＞6时，f(x)+g(x)在上是增加的，在上是减少的，在上是增加的.a16，a(,)2aa(,)26a(,1)6a(,2）a(,1)2a(,)2aa(,)26a(,1)6【拓展提升】求函数的单调区间的“两个”方法（1）方法一：①确定函数y=f(x)的定义域；②求导数y′=f′(x)；③解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为递增区间；④解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为递减区间．（2）方法二:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y′=f′(x)，令f′(x)=0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【变式备选】（1）函数y=xlnx的递减区间是___________．【解析】令y′＜0，解得又x＞0，∴y=xlnx的递减区间是答案：1ylnxxlnx1x，1xe＜，10,e()10,e()．(2)已知函数且f′（-1）=0,①试用含a的代数式表示b；②求f(x)的单调区间.【解析】①依题意，得f′(x)=x2+2ax+b,由f′(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1.②由①得故f′(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1),令f′(x)=0，则x=-1或x=1-2a,321fxxaxbx,3321fxxax2a1x,3(i)当a＞1时，1-2a＜-1,当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：由此得，函数f(x)的递增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+∞)，递减区间为(1-2a,-1).x(-∞,1-2a)(1-2a,-1)(-1,+∞)f′(x)+-+f(x)增加减少增加(ii)由a=1时，1-2a=-1，此时，f′(x)≥0恒成立，且仅在x=-1处f′(x)=0，故函数f(x)的递增区间为R.(iii)当a＜1时，1-2a＞-1，同理可得函数f(x)的递增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞)，递减区间为(-1,1-2a).综上：当a＞1时，函数f(x)的递增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+∞)，递减区间为(1-2a,-1)；当a=1时，函数f(x)的递增区间为R；当a＜1时，函数f(x)的递增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞)，递减区间为(-1,1-2a).考向2已知函数的单调性求参数的范围【典例2】（1）若函数y=a(x3-x)的递减区间为则a的取值范围是()（A）a＞0（B）-1＜a＜0（C）a＞1（D）0＜a＜1(2)（2013·厦门模拟）若函数f(x)=x3-ax2+1在［1,2］上是减少的，求实数a的取值范围．33,33()，【思路点拨】(1)由y′＜0的解集为确定a的取值范围.(2)先求出导函数，再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解．【规范解答】(1)选A.∵当时，因为函数y=a(x3-x)在上是减少的，所以y′≤0，即a≥0，经检验a=0不合题意，∴a＞0．33,33()，2133y3a(x)3a(x)(x),33333x33＜＜33(x)(x)0,33＜33,33()(2)f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a).方法一：由f(x)在［1,2］上减少知f′(x)≤0，即3x2-2ax≤0在［1,2］上恒成立,即在［1,2］上恒成立．故只需故a≥3．综上可知，a的取值范围是［3,+∞).3ax2max3a(x)2，方法二：当a=0时，f′(x)≥0,故y=f(x)在(-∞，+∞)上为增函数，与y=f(x)在［1,2］上减少不符，舍去．当a＜0时，由f′(x)≤0得即f(x)的递减区间为与f(x)在［1,2］上减少不符，舍去．当a＞0时，由f′(x)≤0得即f(x)的减区间为由f(x)在［1,2］上减少得得a≥3．综上可知，a的取值范围是［3,+∞).2ax03，2a03［，］，20xa3，20a3［，］，2a2,3【拓展提升】已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上增加或减少，则区间(a,b)是相应区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数递增，则f′(x)≥0；若函数递减，则f′(x)≤0”来求解.【提醒】f(x)为增加的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式训练】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R，e为自然对数的底数．(1)当a＝2时，求函数f(x)的递增区间