实际光源干涉场成像衬比度的MATLAB仿真与应用

实际光源干涉场成像衬比度的MATLAB仿真与应用摘要：分析了成像衬比度的概念与实际光源的发光情况，推导了线光源、矩形面光源、环形面光源、圆形面光源的光源宽度对干涉条纹衬比度的影响，求解了光源极限宽度，并运用MATLAB软件进行了仿真模拟，使得理论直观形象，适用于物理教学。引入了人眼衬比度敏感函数解释了人眼对干涉条纹衬比度的感受情况，使得成像衬比度的研究具有了实际应用价值。关键词：实际光源衬比度光源极限宽度MATLAB人眼衬比度敏感函数一、引言干涉图像清晰度的主要衡量指标为其衬比度，当衬比度为1时理论上条纹最清晰。但实际光源并不是严格的点光源，具有一定的线度，其干涉光场的相干性问题涉及到空间相干性与时间相干性。为了直观地体会不同形状光源的宽度对干涉条纹衬比度的影响，我们先利用理论推导与MATLAB仿真结合的方法来详细讨论这一问题，并为之后探究人眼衬比度敏感函数的影响做准备。二、理论模型1.理论准备(1)对衬比度概念的理解在图像学中，图像清晰度的决定因素一般为对比度与分辨率[1]。对于自然光成像来说，分辨率的大小只与光的接收有关，与发光光源无关，无需考虑。而对比度主要表征图像边缘灰度变化率，高对比度图像边缘相对模糊图像具有较大的灰度变化率[2]，受光源影响较大。对比度的明确定义主要有两种，一种以像光与背景光光强来衡量，另一种以一定区域内最大光强与最小光强来衡量。如果将背景光光强用区域光强的平均值来表示，则两种定义实质上是统一的。在物理学中，衬比度定义为𝛾=𝐼𝑚𝑎𝑥−𝐼𝑚𝑖𝑛𝐼𝑚𝑎𝑥+𝐼𝑚𝑖𝑛(1)这种定义方法与后一种对比度的定义方法相同。所以在干涉场成像中，可以用衬比度来表征干涉图像的清晰度，𝛾=1时图像最为清晰，𝛾=0时图像模糊不清，在一般情况下0≤𝛾≤1。(2)相干叠加的机理与光源极限宽度在杨氏实验中，若光源沿与狭缝平行的方向扩展，各点产生的干涉条纹一样，暗纹与暗纹重叠仍是暗纹，亮纹与亮纹重叠显得更亮，所以在这种情况下条纹不但不会模糊，反而更加清晰可见。若光源沿与狭缝垂直的方向扩展，各点源产生的干涉条纹彼此错开，亮纹与暗纹重叠的结果，使得条纹的衬比度下降。所以光源在垂直于狭缝的方向上的扩展必须要受到限制[3]。利用MATLAB仿真光的相干叠加，得出合成光强与光源宽度的关系的动画，截图如下图所示：图-1合成光强与光源宽度的关系其中下方深色实线部分为线光源上各点在狭缝上的光强，上方虚线为合成光强。从左到右光源宽度增大，合成强度也相应发生变化。从图中可以看出，当条纹错开的距离𝛿𝑥与条纹间距Δ𝑥相等时，干涉条纹完全消失，此时对应的边缘点源间距𝛿𝑠记为𝑏0，即为光源的极限宽度。(3)对实际光源的分析与基本假设实际光源应该是一个立体结构，如气体发光，光源还具有厚度。而实际的体光源，在考虑了光的时间相干性与光强的衰减后，由于光源本身各点发光是没有什么联系的，可以证明体光源能够等效为一个面光源。用MATLAB仿真实验也证实了这一点。所以这里只考虑光源的宽度对干涉场衬比度的影响，同时假设了面光源上各点光强相等，假设光源为理想的单色光。2.点、线、面光源衬比度计算的一般方法(1)点光源的衬比度对于两个光强分别为𝐼1,𝐼2的完全相干光源，叠加后的光强12122cosIIIII(2)1时取光强取最大值或最小值，代入(1)式有12122IIII(3)故(2)式可改写为[4]12()(1cos)III(4)对于点光源干涉成像，𝐼1,𝐼2为点光源在狭缝处完全相干的两个等效光源。取狭缝间距为𝑑，光源到狭缝距离为𝐿，有𝐿≫𝑑，所以𝐼1≈𝐼2。故对于点光源，12122IIII=1(2)线光源的衬比度在研究线光源时，由于非点光源上任意两个点发出的光为非相干光，故不可直接利用(2)-(4)式进行计算，但将非点光源微分为点光源对每一点光源，取狭缝间距为𝑑，光源到狭缝距离为𝐿，狭缝到光屏距离为𝐷，𝑥为光源上点的位置，𝑥′为光屏上成像点位置。由于Ld,，Dd，在P点狭缝上两光源相位差为2(')ddxxLD(5)在傍轴近似条件下又有12II，不妨设120III，代入(4)式有022[1cos(')]dddIIxxdxLD(6)对该式进行积分即可得到光强分布I的表达式。I的表达式中含有衬比度γ，故可直接根据I的解析式求得衬比度[5]。(3)面光源的衬比度对于面光源来说，与线光源类似，可将其微分为面元有022[1cos(')]dddIIxxdSLD(7)同样对其积分可以求得衬比度[6]。3.几类常见线面光源衬比度及极限宽度的推导与仿真(1)线光源对于宽度为b的线光源，对(6)式进行积分即有：2002sin()22'2[1cos(')]2[1cos]bbbddddxLIIxxdxIbbdLDDL(8)其中𝐼0为光源单位面积上点光源在一个狭缝上的光强。与(4)式比较系数可知sin()bdLbdL(9)这里设𝑧=sin𝜋𝑏𝑑𝐿𝜆𝜋𝑏𝑑𝐿𝜆则衬比度的形式变为𝛾=sin𝑧𝑧(10)利用MATLAB作出𝛾与z的图像如下𝛾z由前面的分析可知光源的极限宽度为衬比度的值第一次降为0的光源宽度。参照式(10)可知线光源的极限宽度当bdL=1时取到，故此时0Lbd(11)事实上，当光源宽度大于极限宽度时，干涉条纹的衬比度仍有可能不为零。但此时其值不大（小于0.21），而且愈来愈小，可以忽略不计，所以仍然取此时的𝑏0图-2线光源衬比度与光源宽度参数z的关系为光源的极限宽度。使用MATLAB进行仿真模拟，对赵秋宇等人的点光源双缝干涉仿真程序[7]进行修改，使程序适用于线光源和面光源。设置𝜆=600nm，𝑑=1mm，𝐷=1m，𝐿=0.1m，改变光源宽度𝑏得到干涉图样和光强分布如下所示：图-4宽度为10mm时的干涉图样和光强分布可以看出，随着光源宽度的增加，干涉图样的衬比度极速下降。(2)矩形光源对于矩形面光源如图所示，对(7)式进行积分有220022222[1cos(')]2[1cos(')]ababSddddIIxxdSdyIxxdxLDLD求得0sin()2'2[1cos]bddxLIIabbdDL故sin()bdLbdL可以看出矩形光源的干涉衬比度只与矩形宽度有关，且与线光源表达式相同。所以矩形光源的干涉图样与极限宽度与线光源完全相同。(3)圆形光源图-3宽度为1mm时的干涉图样和光强分布图-5矩形光源示意图对于直径为的发光圆盘，将其纵向微分为线光源,由(6)式可知：22024[1cos(')]dddIIxxxdxLD即22024[1cos(')]ddIIxxxdxLD其中𝐼0为光源单位面积上点光源在一个狭缝上的光强。将积分式化为极坐标表示形式，可以积得如下结果（详细积分过程见附录所示）：𝐼=𝐼0𝜋𝜌22(1+2𝐽1(2𝜋𝜆𝑢𝜌)2𝜋𝜆𝑢𝜌cosΔ𝜙)(12)其中𝑢=𝑑((𝑑2)2+𝐿2)12令𝑧=2𝜋𝜆𝑢𝜌则有𝛾=2𝐽1(𝑧)𝑧(13)其中𝐽1(𝑧)为一阶贝塞尔函数。这就是圆形光源的衬比度与光源宽度关系式。由图像可得𝑧=1.22𝜋时衬比度最小，此时极限半径𝜌0=0.61𝜆𝑢值得注意的是，这里求得的极限半径与衍射时的最小分辨角的瑞利判据在数学形式上十分相似，从另一个侧面揭示了干涉与衍射的统一性。利用MATLAB可得𝛾−z图像为图-6圆形光源示意图利用MATLAB进行仿真模拟，设置参数为𝜆=600nm，𝑑=1mm，𝐷=1m，𝐿=0.1m，改变光源半径，得到干涉图样和光强分布如下：图-8光源半径为0.01mm时干涉图像与光强图-9光源半径为0.1mm时干涉图像与光强可以看出，在光源半径为0.01mm时干涉图样与点光源区别不大。随着光源半径的增大，干涉图样的衬比度极速下降。(4)圆环光源设圆环光源内径为𝜌1，外径为𝜌2，则可以看做是半径为𝜌1与𝜌2的圆形光源发出的光强做差的结果。利用圆形光源衬比度的结论容易推得圆环光源的干涉场光强分布为𝐼=𝐼0𝜋(𝜌22−𝜌12)2(1+𝜆𝜋𝑢𝜌2𝐽1(2𝜋𝜆𝑢𝜌2)−𝜌1𝐽1(2𝜋𝜆𝑢𝜌1)𝜌22−𝜌12cosΔ𝜙)(14)图-7圆形光源衬比度与光源宽度参数z的关系图其中𝑢的定义与前类似。令𝑎=2𝜋𝑢𝜆则𝛾=2𝑎𝜌2𝐽1(𝑎𝜌2)−𝜌1𝐽1(𝑎𝜌1)𝜌22−𝜌12(15)利用MATLAB进行仿真模拟，设置参数为𝜆=600nm，𝑑=1mm，𝐷=1m，𝐿=0.1m，𝜌1=0.05mm，𝜌2=0.1mm，得到仿真图样与光强分布为图-10圆环光源干涉条纹仿真图样与光强分布由图可以看出，相同外径的圆形光源与圆环光源衬比度相差很大，圆环光源的衬比度远低于圆形光源。利用MATLAB设置参数绘制衬比度与内外径关系示意图，可以得到图-11圆环光源衬比度示意图，α=10这里的𝛼取值过小，应为106数量级，但实际取到时为保证绘图分辨率足够高，MATLAB将存在占用内存过大问题，且绘出的图样不清晰，这里仅仅取𝛼=10作为参考。实际的圆环光源衬比度会以远快于圆形光源的速度下降到零，并且上下浮动的频率很高。示意图中，只有内径小于外径的部分是实际存在的。三、结果分析讨论与应用1.几类常见光源衬比度结果分析由结果可以看出矩形光源的干涉衬比度与线光源表达式相同，表达式只与矩形宽度有关，而矩形的高度对其没有影响，线光源可以看做是矩形光源高度趋近于零的一种特殊情况。对比矩形光源与圆盘光源的γ-z图像可知，当光源到双缝的距离L与双缝间距d一定时，衬比度与光源宽度的函数关系为震荡衰减函数。由下图可以直观地看到，而圆盘光源的衬比度γ随光源宽度的增加衰减得相对更快一些，这也与实际情况相符。图-13圆形光源衬比度与光源宽度的关系线光源与矩形光源相比较，仅仅是光强大小有所变化，衬比度函数形式完全相同。图-12矩形光源衬比度与光源宽度的关系圆环光源与圆形光源相比较，圆环光源衬比度会以远快于圆形光源的速度下降到零，并且上下浮动的频率很高。这也与实际情况相符合。在求解过程中值得注意的是，求解圆形光源得到的的极限半径与衍射时的最小分辨角的瑞利判据在数学形式上十分相似，从另一个侧面揭示了干涉与衍射的统一性。2.人眼衬比度敏感函数的影响为了进一步探究人眼观察干涉条纹清晰度的情况，还需要引入人眼衬比度敏感函数。例如，将一张较大的模糊的干涉条纹图像缩小，人眼感觉图像较为清晰，这就是人眼衬比度敏感函数的作用。从图形成像上说，人眼能分辨出的最低衬比度阈值在光学成像中十分重要，低于这一阈值的图像人眼将分辨不出，从而使成像失去意义。而这一阈值与空间频率以及光强有关。空间频率是指单位视角内明暗条纹重复出现的周期数，单位为周每度，它的物理内涵是单位长度所含的波数[8]。调整某一干涉条纹的衬比度，当观察者能有50%的正确分辨率时，这个衬比度就是该空间频率的衬比度阈值。衬比度阈值的倒数即观察者对这个空间频率的对比感受性，称为对比敏感度，也称为人眼衬比敏感度[9]。实验测定，人眼衬比敏感度阈值是随空间频率的改变而改变的，即是空间频率的函数，称之为人眼衬比敏感度函数（简称CSF，或MTF）。一般视力正常的观察者对每度视角3周或4周的干涉条纹最敏感，高于或低于这个频率时感受性都降低[10]。所以在光学成像中，若要使成像条纹清晰，需要综合调整图像的衬比度与空间频率，使得人眼的感受最为清晰。对于人眼衬比敏感度函数，中外人员选取了大量实验者，利用心理物理学中的极限调整法进行了研究[11][12]，拟合出了较为准确的人眼衬比敏感度函数结果，提取成数学模型为[11]：𝐶𝑆𝐹(𝑓)=𝐴𝑓𝐵+𝐶×𝑓2