圆的动点问题--经典习题及答案

圆的动点问题25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：在RtABC△中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点，（1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点(不与点A重合)，联结CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2)在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．ABCPEM第25题图1DABCM第25题图2N25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF//AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y．（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；（3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．ABEFCDOABEFCDO25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1的半径；（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F．(1)如图，当点F在线段DE上时，设BEx，DFy，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求x的值；(3)联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值。FADCBE25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)证明：（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC∴BPAPBCAE--------------------------------------(1分)∵BC=6，AC=8，∴AB=10-------------------------------------------------------------------------------------(1分)∵AE=x，AP=y∴yyx1060610xxxy----------------------------------------------------------------------------------(2分)（2）假设在射线AM上存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似∵AM∥BC∴∠B=∠BAE∵∠ACB=90°∠AEP≠90°∴△ABC∽△EAP----------------------------------------------------------------------------------（2分）APAEBCAB-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴xxx610610解得：0,33221xx（舍去）-----------------------------------------（1分）∴当AE的长为332时，△ABC∽△EAP（3）∵⊙C与⊙E相切，AE=x①当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=6x，EC=286xx在直角三角形AEC中，222ECAEAC∴222)2(8xx解得：15x∴⊙E的半径为9.----------------------------------（2分）②当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=x6，EC=xx1486在直角三角形AEC中，222ECAEAC∴222)14(8xx解得：733x∴⊙E的半径为79.---------------------------------（2分）③当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时，ED=6x，EC=286xx在直角三角形AEC中，222ECAEAC∴222)2(8xx解得：15x（舍去）---------------------------------------（1分）∴当⊙C与⊙E相切时，⊙E的半径为9或79。25．解：（1）联结OC，∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，∴OD=AD．……………………（1分）∵DF//AB，∴CF=EF，∴DF=AE21=)(21OEAO．…………………………（1分）∵点C是以AB为直径的半圆的中点，∴CO⊥AB．……………………………（1分）∵EF=x，AO=CO=4,∴CE=2x,OE=421642222xxOCCE.（1分）∴42)424(2122xxy.定义域为2x．…………………（1+1分）（2）当点F在⊙O上时，联结OC、OF，EF=421OFCE∴OC=OB=21AB=4．∴DF=2+442=2+23．…………………………………………………（1分）（3）当⊙E与⊙O外切于点B时，BE=FE．∵222COOECE，∴,4)4()2(222xx032832xx，∴1x3744，2x舍去(3744）．………………………………………（1分）∴DF=37214)37448(21)(21BEAB．…………………………（1分）当⊙E与⊙O内切于点B时，BE=FE．∵222COOECE，∴,4)4()2(222xx032832xx，∴1x3744，2x舍去(3744）．…………………………………（1分）∴DF=37214)37448(21)(21BEAB．…………………………（1分）当⊙E与⊙O内切于点A时，AE=FE．∵222COOECE，∴,4)4()2(222xx032832xx，∴1x3744，2x舍去(3744）．………………………………（1分）∴DF=327221AE．……………………………………………………（1分）25题：解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，∴AE=，OE=．∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°﹣∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．∴，∵OD=y+5，∴．∴y关于x的函数解析式为：．定义域为：．（1分）（2）当BD=OB时，，．∴x=6．∴AE=，OE=．当点O1在线段OE上时，O1E=OE﹣OO1=2，．当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，．⊙O1的半径为或．（3）存在，当点C为的中点时，△DCB∽△DOC．证明如下：∵当点C为的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180°﹣∠OCA﹣∠OCB=45°．∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．25．(1)过点D作BCDG于点G．可得8,3,,4BCGCADBGABDG，xEG5；……2分在Rt△DEG中，∴222DGEGDE，即222)5(4)(xyx∴xxy16)5(2(负值舍去)…………………………………………1分定义域：x0＜4.1……………………………………………1分（2）设EF的中点O，联结OE，过点O作BCOH于点H．,23225HCOHOC，，238xEH；1⊙O与⊙E外切时，25xOE在OEHRt中，222EHOHOE，∴222)25()238(2xx化简并解得920x……………2分2⊙O与⊙D内切时，25xOE在OEHRt中，222EHOHOE，∴222)25()238(2xx，化简并解得5x……………2分综上所述，当⊙O与⊙D相切时，5x或920．（3）当4ABAF时，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，1分∴90ABEAFE，即DEAF在AFDRt中，22AFADDF=34522………1分由xxy16)5(2=3，解得2x；……………1分当FBFA时，过点F作ABQF于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ…1分∴EFDF，xxy16)5(2=x，33725x（负值舍去）；综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时时，2x或33725x。