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2220005JournalofChongqingJianzhuUniversityVol.22 Sup.May2000:1006-7329(2000)s0-0123-05ARMAX1,1,1,2(1.重庆建筑大学 建工学院,重庆 400045;2.建设部科技司,北京:100835):,,ARMA,:;;;ARMA;:TU318:A输入地震波的选择是时程分析方法的主要内容之一,也是目前困扰地震工程界的一个重要难题,那种无视场地类别和工程特性的差别而仅选用世界上少数几条著名地震动记录的现状亟待改变。人造地震波因其任意性和统计性等特点而逐渐成为输入地震波的一个与实际地震动记录同等重要的来源,并且将在结构抗震设计中扮演越来越重要的角色,因而,正视人造地震波的现状并改进其所面临的问题,是解决输入地震波选择问题的一项现实任务[1]。近年来的研究表明,结构的控制地面运动特征随结构特性(如脆性或延性、线性或非线性等)而异,并非一成不变,而传统地震动三要素(指幅值、反应谱和持时)并不总是能够构成不同结构的控制地震动参数[2]。譬如,如果以拟合相同三要素的多条人造波作为输入,同一结构的弹塑性反应仍可以相差几倍。另一方面,拟合给定实际强震记录三要素的人造地震波与原记录之间总是存在较大差别。以上事实使得人们有理由相信,除传统三要素之外,实际强震记录还蕴藏有更为丰富的信息,其中某些信息对于结构的地震反应特别是弹塑性反应恰恰具有不可忽略的影响。频率非平稳特性即是近年来获得较多关注的地震动特性之一。然而,目前最为常用的人造地震波方法——三角级数法——从随机模型(视地震动为均匀调制过程)到合成与模拟技术(FFT技术)均建立在频率平稳的基础上,试图通过某些改进以使其能够考虑频率非平稳问题是相当困难的,特别是FFT技术本身就不具有分析瞬时频率特性的能力[3]。因而需要寻求人造地震波的新模型和新方法。ARMA模型(自回归滑动平均模型)在时序分析中得到了广泛应用,基于ARMA模型的现代谱估计技术[3]甚至对以周期图法或自相关函数法为代表的古典谱估计方法形成了很大的冲击,近年来在地震工程中也得到了较多的应用。遗憾的是,目前的应用还只限于强震记录的建模分析和仿真再现,并不能真正地解决工程设计中的地震动输入问题。用于抗震设计的人造地震波通常需要满足拟合设计反应谱(SpectrumCompatible)的要求。基于地震动频率非平稳特性的简化描述方法,本文采用ARMA模型研究了拟合反应谱的人造地震动仿真方法,并通过算例分析对该方法进行了验证。X收稿日期:2000-03-10基金项目:国家自然科学基金项目“工程结构的地震动输入问题研究”(59878055)作者简介:李英民(1968-),男,山东人,副教授,博士,主要从事地震工程及结构抗震研究。1既然地震动的频率非平稳特性已经被认为是影响结构反应特别是非线性反应不容忽略的因素[4-6],将其引入到人造地震波的合成中显然是一项合理的要求。然而,虽然这一特性近年来受到了较多的关注,却一直未见有过关于其统计特性的研究成果,使其丧失了工程应用的基础和前提。其原因主要在于缺乏频率非平稳特性(又称为瞬时谱)的合理描述方法和估计方法:现有的描述方法如演变谱和物理谱等虽然精细却过于复杂;常用的移动窗技术和多重滤波技术等所估计的谱曲线均杂乱无章,基本没有什么统计性可言[2]。因而,对于本身非常复杂的瞬时谱特性,采用一种简单描述方法似乎更易于从整体上把握其统计规律,以便工程应用。对于平稳的零均值正弦波而言,任意相邻两次沿相同方向穿越零值或者达到最大峰值之间的时间间隔均可视为一个周期,单位时间内的穿零次数或者峰值次数可以作为频率含量的一种度量。受此启发,作者采用穿零率这种简单直观的度量方式简化描述地震动的频率非平稳特性,并研究了穿零率的估计方法和统计规律(参见文献[2])。定义穿零率为单位时间内的穿零次数,并建立实际地震动记录的穿零率模型为v0(t)=G0e-C0t(1)式中G0为初始穿零率,C0为表示衰减速率的正指数。采用单纯型优化方法可直接对实际记录的累积穿零次数曲线进行拟合以确定参数G0和C0的值。通过对2130条实际地震动记录穿零率参数的统计分析,作者给出了表1所示的取值建议[2]。1烈度近远震Ⅰ类场地G0C0Ⅱ类场地G0C0Ⅲ类场地G0C0Ⅳ类场地G0C0Ⅶ近震14.90.01813.90.02013.00.02311.00.030远震14.30.01412.90.01711.70.0219.60.028Ⅷ近震15.00.01814.10.02113.20.02311.20.030远震14.50.01613.10.01811.80.0229.70.030Ⅸ近震15.20.01814.20.02113.30.02311.30.031 注:依统计回归误差,G0的变化幅度约为±20%,C0的变化幅度约为±10%。2ARMA2.1本文将地震动过程{at}视为平稳ARMA过程经频率调制后的强度调制过程,即5(B)xt=((B)Etyt=v0(xt)at=ftõyt(2)式中:{Et}为白噪声过程;{xt}为平稳ARMA过程,一般情况下较低阶的ARMA模型即可较好地描述地震动过程;5(B)和((B)分别为自回归多项式和滑动平均多项式;v0(xt)表示对平稳过程按照需要的穿零率进行采样时间间隔的调制;ft为强度包线函数,通常取为三段连续型。式(2)与传统人造波方法中所采用的均匀调制过程的重要差别在于,用于强度调制的时间序列事先已经被频率调制过了,均匀调制过程可视为式(2)的特例。显然,过程{xt}具有时不变方差和时不变频率,{yt}具有时不变方差和时变频率,{at}则具有时变方差和时变频率。2.2基于式(2)的地震动模型,给出图1所示的计算框图用以合成拟合反应谱的人造地震波。应予12422图1 拟合反应谱的人造地震波程序框图指出,1)频率调制对于强度非平稳过程的作用是双重的,既调整了频率含量又影响到强度非平稳特性,为了得到所期望的强度非平稳特性,只能先频率调制再强度调制;2)均匀调制模型将强度包线函数处理为确定性函数,这种处理便于进行结构的随机反应分析,却不利于大样本集系地震波的产生,体现不出地震动本身所应具有的随机特性;同样地,如果把强度包线函数和穿零率函数均视为确定性函数,上述方法也不利于大样本集系地震波的产生。迄今还有一种观点认为,在产生拟合反应谱的人造波时不宜追求过高的拟合精度,存在一定的误差正是随机性所期望的。其实,对反应谱高质量的拟合是比较时程分析法结果与其它方法分析结果的前提,地震动的随机性不能寄希望于通过拟合目标谱的好坏来体现,而应由地震动特性的统计特征来反映。为此,本文方法将强度包线参数和穿零率参数均考虑为待识别参数。2.3将人造波的反应谱与目标反应谱之间的差别用单变量形式的相对残差平方和表示,即e2=2Ni=1Ai(1-Sa(Ti)/ST(Ti))2(3)式(3)中Sa(Ti)和ST(Ti)分别为相应于周期Ti处的人造波反应谱值和目标谱值;Ai为控制点Ti处的权重系数,通常取为1;N为反应谱控制点总数。显然,e2是ARMA模型参数、强度包线参数及穿零率参数等变量的函数。近似地,认为当e2达到最小时Sa与ST达到最优拟合。那么,对目标谱的拟合问题就转化为e2在自变量满足约束条件下的极小化问题,可采用非线性约束最优化的复合形方法识别参数[7]。2.4按照图1所示的程序框图,编制出拟合反应谱的地震波仿真程序。该程序可以完成任意给定反应谱的拟合,产生的人造波同时具有强度和频率非平稳特性。3以下给出一个算例,比较下述三种情况对《建筑抗震设计规范》(GBJ11-89)Ⅶ度Ⅱ类场地远震设计反应谱的拟合结果:均匀调制过程A——由时不变ARMA(6,6)模型和ft构成(不考虑频率调制);ft视为确定性函数,取为三段连续型,上升段持时、平稳段持时和衰减段指数分别为6.8s、5.5s和0.13s;频率非平稳过程B——由时不变ARMA(6,6)模型、穿零率函数和ft按式(2)构成;ft取值同A;穿零率函数为随机函数,取值及变化范围依表1确定;频率非平稳序列C——除ft视为随机函数外,其余同B;ft三个参数的变化范围取为A中ft1252000:ARAM取值的±20%。3.1图2给出了上述三个过程按照仅改变随机数种子的方法所得到的100条人造波的平均谱、最大包络和最小包络。可以看出,频率非平稳特性的考虑有利于提高低频段反应谱的拟合精度即使是在反应谱最小值平台处都可以达到良好的拟合精度;同时,在中频段的拟合精度也有提高,只是在高频段上的拟合精度较差;A和B的拟合结果相差不大。(a)A的拟合结果 (b)B的拟合结果(c)C的拟合结果 (d)三种情况拟合结果的比较(平均值)图2 频率非平稳特性对拟合结果的影响3.2ARMA计算表明,低阶ARMA模型可以较好地拟合一个实际地震动记录,却不能较好地拟合设计反应谱。原因在于设计谱具有平台段,要想较好地拟合,功率谱应具备多峰特征,这就意味着需要更高阶ARMA模型。平台段越长,所需要的模型的阶数越高。通常,ARMA(6,6)模型一般具有足够的精度。当然,在拟合反应谱的过程中可以考虑ARMA模型阶数按某种给定规律进行变化,只是需花费较多的计算时间。3.3仅通过改变随机数种子即可产生满足相同统计特征的样本集系,这是ARMA模型进行地震动仿真的一大优点[8]。图3给出了分别取自上述三种过程的三条人造加速度记录累积穿零次数和(a)累积穿零次数 (b)归一化Husid图图3 三条人造加速度记录的对比12622归一化Husid图的对比。从加速度图看,考虑频率非平稳的序列(B或C)更“象”实际地震动记录。均匀调制序列A富含高频成分,累积穿零次数近乎直线。频率非平稳序列B和C具有不同的强度包线,因而累积能量随时间的变化明显不同。而均匀调制序列A和频率非平稳序列B具有相同的强度包线,二者的累积能量随时间的变化基本一致,表明频率非平稳特性的考虑对累积能量随时间的变化影响较小,或者说,累积能量随时间的变化主要取决于包线函数。5上述分析表明,本文基于ARMA模型的反应谱拟合方法是可行的,拟合精度较以前不考虑频率非平稳时大有提高。频率非平稳特性的考虑有利于提高低频段反应谱的拟合精度。独立地、随机地处理强度和频率非平稳特性也是简单可行的。应注意到,本文方法尚存在一些问题需进一步解决和完善。比如,在优化目标函数的选取中假定当相对残差平方和达到最小时两曲线达到最优逼近,这种单量控制方法只注意到了整体,不能控制到各个点,因此在图2中出现了个别点的相对残差较大的情形。又如,限于时间的关系,本文方法未涉及多阻尼比反应谱的拟合问题。后续研究中可以考虑采用多目标函数控制或附加约束条件的方法对上述问题进行改进。值得指出的是,本文对于强度和频率非平稳特性的独立处理方法同样适用于传统的三角级数法(即用三角级数和模型代替本文的ARMA模型)。这种对于传统三角级数法的简单改进,不仅可以保留其对反应谱曲线上各点进行单独控制的特点,也使得频率非平稳特性的考虑成为可能,只是强度包线函数和穿零率函数必须处理为确定性函数(FFT技术只能完成序列的合成却不能调整和识别模型参数),这将不利于大样本集系的产生。:[1] 李英民,杨溥,赖明,等.结构时程分析法输入地震动样本容量及响应设计取值的确定〔J〕.地震工程与工振动,1999,19(1):156-163[2] 李英民.工程地震动的模型化研究〔D〕:重庆建筑大学博士学位论文.重庆:重庆建筑大学,1999[3] 宗孔德,胡广书.数字信号处理〔M〕.北京:清华大学出版社,1988[4] PapadimitriouK,BeckJL.Stochasticcharacterizationofgroundmotionandapplicationstostructuralresponse〔J〕.Proc.ofthe10thWorldConferenceonEarthquak